20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P5)

Câu 1:

Cho hàm số y=x⁴-(3m+4) x²+ m² có đồ thị là C. Có mấy giá trị nguyên của m để đồ thị C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm: x⁴-(3m+4) x²+ m²= 0 ( 1)

Đặt t= x², phương trình trở thành: t²-(3m+4)t+ m²= 0 ( 2)

C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi ( 1) có bốn nghiệm phân biệt

Khi đó ( 2) có hai nghiệm dương phân biệt

+ Khi đó phương trình *(2) có hai nghiệm 0<t₁< t₂. Suy ra phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt là $x_{1} = - \sqrt{t_{2}} < x_{2} = - \sqrt{t_{1}} < x_{3} = \sqrt{t_{1}} < x_{4} = \sqrt{t_{2}}$ . Bốn nghiệm x₁; x₂; x₃; x₄ lập thành cấp số cộng

$\Leftrightarrow x_{2} - x_{1} = x_{3} - x_{2} = x_{4} - x_{3} \Leftrightarrow - \sqrt{t_{1}} + \sqrt{t_{2}} = 2 \sqrt{t_{1}} \Leftrightarrow \sqrt{t_{2}} = 3 \sqrt{t_{1}} \Leftrightarrow t_{2} = 9 t_{1} (3)$

Theo định lý Viet ta có $\{\begin{cases} t_{1} + t_{2} = 3 m + 4 (4) \\ t_{1} t_{2} = m^{2} (5) \end{cases}$

Từ (3) và (4) ta suy ra được $\{\begin{array}{l} t_{1} = \frac{3 m + 4}{10} \\ t_{2} = \frac{9 (3 m + 4)}{10} \end{array} (6) .$

Thay (6) vào (5) ta được

Vậy giá trị m cần tìm làm =12; m= -12/ 19

Chọn B.

Câu 2:

Cho phương trình x³- 3x²+ 1- m=0 (1) . Điều kiện của tham số m để (1) có ba nghiệm phân biệt thỏa m ãn x₁< 1< x₂<x₃ khi

A. m =- 1

B.-1< m< 3

C. -3< m< -1

D. m> -3

Xem đáp án

Ta có x³- 3x²+ 1- m=0 là phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị hàm số

y= x³- 3x²+ 1 và y= m (là đường thẳng song song hoặc trùng với Ox).

+Xét y= x³- 3x²+ 1 .

Đạo hàm y’ = 3x²- 6x

Ta có y’=0 $\Leftrightarrow$ 3x²- 6x=0

Khi x= 1 thì y= -1

Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán khi và chỉ khi -3< m< -1 .

Chọn C.

Câu 3:

Cho đồ thị C: y= 2x³-3x²-1. Gọi d là đường thẳng qua A( 0; -1) có hệ số góc bằng k . Tất cả giá trị k để C cắt d tại ba điểm phân biệt là

A. $\{\begin{cases} k < \frac{9}{8} \\ k \neq 0 \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} k > - \frac{9}{8} \\ k \neq 0 \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} k < - \frac{9}{8} \\ k \neq 0 \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} k > \frac{9}{8} \\ k \neq 0 \end{cases}$

Xem đáp án

+ Phương trình đường thẳng d có dang d: y= kx-1 .
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị C và đường thẳng d:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 1 = k x - 1 h a y x (2 x^{2} - 3 x - k) = 0 \Leftrightarrow$

+ Để C cắt d tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} ∆ > 0 \\ 0 - k \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} k > - \frac{9}{8} \\ k \neq 0 \end{cases}$

Vậy chọn $\{\begin{cases} k > - \frac{9}{8} \\ k \neq 0 \end{cases}$

Chọn B.

Câu 4:

Với những giá trị nào của tham số m thì (C) : y= x³- 3( m+ 1) x²+ 2( m ²+ 4m+1 ) x-4m( m+1 ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1?

A. $\frac{1}{2} < m \neq 1$

B. m< 1

C. m> 1/2

D. m≠ 1

Xem đáp án

+ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị C và trục Ox:

x³- 3(m + 1) x²+ 2(m ²+ 4m + 1)x - 4m(m + 1)= 0

hay ( x- 2) [x²-( 3m+ 1) x+ 2m²+ 2m] =0

Yêu cầu bài toán

Vậy ½< m và m≠ 1.

Chọn A.

Câu 5:

Hỏi phương trình 3x²- 6x+ ln( x+1)³+1=0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Điều kiện: x> -1

Ta có: 3x²- 6x+ ln( x+1)³+1=0 hay 3x²- 6x+ 3ln( x+1)+1=0

f(x)=3x²- 6x+ 3ln(x + 1) + 1 $\Rightarrow f' (x) = 6 x - 6 + \frac{3}{x + 1}$

Đạo hàm f’ (x) = 0 khi và chỉ khi (2x- 2)(x+ 1) +1=0

$\Leftrightarrow x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Từ đây, ta có bảng biến thiên của f(x):

Nhìn vào bảng biến thiên ta sẽ có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn C.

Câu 6:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} + (m^{2} - 1) x$ có hai điểm cực trị A và B sao cho A, B nằm khác phía và cách đều đường thẳng d: y= 5x- 9 . Tính tổng tất cả các phần tử của S.

A. 0.

B. 6.

C. -6.

D. 3.

Xem đáp án

+ Ta có đạo hàm y’ = x²- 2mx+ (m²-1).

Phương trình y’ =0 có $∆' = m^{2} - (m^{2} - 1) = 1 \Rightarrow \{\begin{cases} x_{1} = m - 1 \\ x_{2} = m + 1 \end{cases}$

+ Không mất tính tổng quát, giả sử $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2}) .$

A, B nằm khác phía khi và chỉ khi x₁. x₂< 0 hay ( m-1) (m+ 1) < 0

Suy ra -1< m< 1

A, B cách đều đường thẳng y= 5x-9 suy ra trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng đó.

Khi đó ta có:

$I (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}; \frac{y_{1} + y_{2}}{2}) h a y I (m; \frac{1}{3} m^{3} - m)$

Ta có:

$\frac{1}{3} m^{3} - m = 5 m - 9 \Leftrightarrow \frac{1}{3} m^{3} - 6 m + 9 = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} m_{1} = 3 \\ \frac{1}{3} m^{2} + m - 3 = 0 \end{cases}$

Suy ra $m_{1} + m_{2} + m_{3} = 3 + \frac{- 1}{\frac{1}{3}} = 0 .$

Chọn A

Câu 7:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2}$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.

A. m> 0

B. m< 1

C. $0 < m < \sqrt[3]{4}$

D. 0< m< 1

Xem đáp án

+ Điều kiện để hàm số có 3 cực trị là m> 0

+ Các điểm cực trị tạo thành tam giác cân có đáy bằng 2√m, đường cao bằng m². (như hình bên )

Ta được $S_{∆ A B C} = \frac{1}{2} A C . B D = \sqrt{m} . m^{2} .$

+ Để tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 thì $\sqrt{m} . m^{2} < 1 h a y 0 < m < 1$

Chọn D.

Câu 8:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ có đồ thị C và d: y= x+ m. Giá trị của tham số m để d cắt C tại hai điểm phân biệt A; B sao cho tiếp tuyến tại A và B song song với nhau.

A. m=6

B. m= 0

C. m= -3

D. Đáp án khác

Xem đáp án

+ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị C và đường thẳng d

$\frac{2 x + 1}{x + 1} = x + m \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq - 1 \\ x^{2} + (m - 1) x + m - 1 = 0 (1) \end{cases}$

+ Khi đó d cắt C tại hai điểm phân biệt A; B khi và chi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} {(m - 1)}^{2} - 4 (m - 1) > 0 \\ {(- 1)}^{2} - (m - 1) + m - 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m < 1 \lor m > 5 (*)$

Khi đó ta lại có A( x₁; x₁+m) ; B( x₂; x₂+ m) ;

$\vec{A B} = (x_{2} - x_{1}; x_{2} - x_{1})$ nên $A B = \sqrt{2 {(x_{2} - x_{1})}^{2}} = \sqrt{2} |x_{2} - x_{1}|$

và $\{\begin{cases} x_{2} + x_{1} = 1 - m \\ x_{2} . x_{1} = m - 1 \end{cases}$

Từ đây ta có

$A B = \sqrt{10} \Leftrightarrow |x_{2} - x_{1}| = \sqrt{5} \Leftrightarrow {(x_{2} + x_{1})}^{2} - 4 x_{2} x_{1} = 5 \Leftrightarrow {(1 - m)}^{2} - 4 (m - 1) = 5 \Leftrightarrow m^{2} - 6 m = 0$

Vậy m= 0 hoặc m= 6.

Chọn D.

Câu 9:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y= - mx lần lượt cắt đồ thị của hàm số y= x³- 3x²-m+ 2 tại ba điểm phân biệt theo thứ tự A; B; C sao cho AB = BC.

A. m< 1

B. m> 2

C. m < 3

D. m> 4

Xem đáp án

+ Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình

x³- 3x²-m+ 2= -mx hay ( x-1) ( x²-2x+ m-2) =0

Hay x=1; x²-2x+m-2=0

+ Đặt nghiệm x₂= 1; từ giải thiết bài toán trở thành tìm m để phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng. Khi đó phương trình : x²-2x+m-2 = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt (vì theo hệ thức Viet ta có: x₁+ x₃= 2= 2x₂ ).

Vậy khi đó ta cần ∆’ > 0( để phương trình có 2 nghiệm phân biệt )

∆’=1-(m-2)>0 $\Leftrightarrow m < 3$

Chọn C.

Câu 10:

Cho hàm số y= x³- 3x²-m- 1 có đồ thị ( C) . Giá trị của tham số m để đồ thị C cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng là

A. m= 1

B. m= -1

C. m= -3

D. m= 3

Xem đáp án

+ Đồ thị C cắt trục hoành tại điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng khi và chỉ khi phương trình x³- 3x²- 1=m có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp cố cộng.

+ Suy ra đường thẳng y= m đi qua điểm uốn của đồ thị y= x³- 3x²- 1

(do đồ thị (C) nhận điểm uốn làm tâm đối xứng).

+ Mà điểm uốn của đồ thị đã cho là I( 1 ; -3)

( hoành độ điểm uốn là nghiệm phương trình y’’= 0 hay y’’= 6x-6=0 do đó x= 1 ; y= -3)

Suy ra m= -3.

Chọn C.

Câu 11:

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số $y = x^{3} + m x - \frac{1}{5 x^{5}}$ đồng biến với x> 0?

A. 4

B. 5

C. 3

D. 2

Xem đáp án

+ Hàm số xác định và liên tục với mọi x> 0.

Ta có $y' = 3 x^{2} + m + \frac{1}{x^{6}}, \forall x \in (0; + \infty)$

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) khi và chỉ khi $y' = 3 x^{2} + m + \frac{1}{x^{6}} \geq 0$ với mọi x> 0.

$\Leftrightarrow m \geq - 3 x^{2} - \frac{1}{x^{6}} = g (x), \forall x \in (0; + \infty) \Leftrightarrow m \geq \underset{x \in (0; + \infty)}{m a x} g (x), x \in (0; + \infty) . g' (x) = - 6 x + \frac{6}{x^{7}} = \frac{- 6 x^{8} + 6}{x^{7}} = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Bảng biến thiên

Suy ra maxg( x) = g(1) = -4 và do đó để hàm số đã cho đồng biến t với x > 0 thì m ≥ -4

Mà m nguyên âm nên $m \in \{- 4; - 3; - 2; - 1\}$ .

Chọn A.

Câu 12:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y = |x^{2} - 3 x + m|$ trên đoạn [ 0; 2] bằng 3. Số phần tử của S là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 5

Xem đáp án

+ Xét hàm số f(x) = x³-3x+ m là hàm số liên tục trên đoạn [0; 2] .

Ta có đạo hàm f’ (x) = 3x²- 3 và f’ (x) = 0 khi x= 1 ( nhận ) hoặc x= -1( loại)

+ Suy ra GTLN và GTNN của f(x) thuộc { f(0); f(1) ; f(2) }={m;m-2; m+2}.

+ Xét hàm số $y = |x^{3} - 3 x + m|$ trên đoạn [0; 2 ] ta được giá trị lớn nhất của y là

$m a x \{|m|; |m - 2|; |m + 1|\} = 3 .$

TH1: m= 3 thì max {1;3;5}= 5 ( loại )

TH2:

+ Với m= -1. Ta có max {1; 3}= 3 (nhận).

+Với m= 5. Ta có max { 3;5;7}= 7 (loại).

TH3:

+ Với m= 1. Ta có max {1; 3}= 3 (nhận).

+ Với m= -5. Ta có max {3;5;7}= 7 (loại).

Do đó m= -1 hoặc m= 1

Vậy tập hợp S có 2 phần tử.

Chọn B.

Câu 13:

Cho hàm số y = f(x).Hàm số y= f’(x) có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số y= f(2-x) đồng biến trên khoảng:

A. ( 1; 3)

B. x > 3

C. x< -2

D. đáp án khác

Xem đáp án

Ta có:( f( 2-x) )’= ( 2-x)’.f’(2-x) = -f’(2-x)

Hàm số đồng biến khi

Chọn D.

Câu 14:

Cho hàm số $y = \frac{- x + 2}{x - 1}$ có đồ thị (C) và điểm A( a; 1). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a để có đúng một tiếp tuyến từ C đi qua A. Hỏi trong tập S có bao nhiêu giá trị nguyên

A. 1.

B. 0.

C. 3.

D. 4

Xem đáp án

+ Phương trình đường thẳng d đi qua A và có hệ số góc k là: y= k( x-a) +1

+ Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) :

+ Với k = 0, ta có d: y= 1 là tiệm cận ngang đồ thị hàm số nên không thể tiếp xúc được.

+ Với k ≠ 0, d và (C) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi (1) có nghiệm kép

Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn k tham số a

+ Để qua A( a; 1) vẽ được đúng 1 tiếp tuyến thì phương trình 1 có đúng một nghiệm k ≠ 0.

*Xét 1-a= 0 hay a=1, ta có 4k+ k= 0 hạy k= -1 (thỏa mãn).

*Có f(0) = 4≠0 nên loại đi trường hợp có hai nghiệm trong đó có một nghiệm là k = 0.

*Còn lại là trường hợp ∆_x= 0 có nghiệm kép khi

Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn đầu bài là a = 1 hoặc a = 3/2.

Chọn A.

Câu 15:

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số $y = |3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + m|$ có 7 điểm cực trị?

A. 0

B. 4

C. 5

D. 1

Xem đáp án

Xét hàm số y= 3x⁴- 4x³-12x²+m

Có

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, để hàm số đã cho có 7 cực trị thì $\{\begin{cases} m - 5 < 0 \\ m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow 0 < m < 5 .$

Vì m nguyên nên các giá trị cần tìm của m là $m \in \{1; 2; 3; 4\}$ .

Chọn A.

Câu 16:

Cho hàm số y= x⁴- (2m-1) x²+2m có đồ thị (C) . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng d: y= 2 cắt đồ thị (C) tại bốn điểm phân biệt đều có hoành độ lớn hơn 3 là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

+ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:

x⁴- (2m-1) x²+2m = 2 hay x⁴- (2m-1) x²+2m -2=0

Suy ra x²= 1 hoặc x²= 2m-2 (1)

+ Đường thẳng d cắt C tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3.

Do đó có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn đầu bài là: 2; 3; 4; 5.

Chọn D.

Câu 17:

Cho hàm số y= x³- 3mx²+ 3( m+1) x+1 (1) với m là tham số. Gọi (C) là đồ thị hàm số (1) và K là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng -1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tiếp tuyến của ( C) tại điểm K song song với đường thẳng d: 3x+ y= 0 là

A. 1

B. 2

C. 3

D. không có giá trị nào của m thỏa mãn

Xem đáp án

+Ta có đạo hàm y’ = 3x²- 6mx+ 3( m+ 1) .

Do K thuộc ( C) và có hoành độ bằng -1, suy ra K( -1; -6m-3)

y'(-1) = 9m + 6

Khi đó tiếp tuyến tại K có phương trình

∆: y = ( 9m+ 6) x+ 3m+ 3

Ta có: d: $3 x + y = 0 \Leftrightarrow y = - 3 x$

Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 9 m + 6 = - 3 \\ 3 m + 3 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = - 1 \\ m \neq - 1 \end{cases}$

Vậy không tồn tại m thỏa mãn đầu bài.

Chọn D.

Câu 18:

Cho hàm số y= x³- x²+ x + 1 có đồ thị ( C) . Tiếp tuyến tại điểm N( x; y) của (C) cắt đồ thị (C) tại điểm thứ hai là M( -1; -2) . Khi đó x+ y=?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Ta có: y' = $3 x^{2} - 2 x + 1$

+ Đường thẳng ∆ đi qua điểm M( -1; -2) có hệ số góc k có dạng ∆: y= k( x+ 1) -2 .

+ ∆ là tiếp tuyến của (C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

$\{\begin{cases} x^{3} - x^{2} + x + 1 = k (x + 1) - 2 (1) \\ 3 x^{2} - 2 x + 1 = k (2) \end{cases}$

+Thay (2) vào (1) ta được

x³- x²+ x+ 1= ( 3x²- 2x+1) (x+1) -2

Hay ( x+ 1)².(x-1) =0

Suy ra x= -1 ( trùng với M nên loại ) hoặc x = 1

Với x = 1 thì y = 2. Vậy N(1; 2)

Chọn C.

Câu 19:

Cho hàm số y= x⁴- 2mx²+m (1) với m là tham số thực. Gọi (C) là đồ thị hàm số (1); d là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. Tìm m để khoảng cách từ điểm B( ¾; 1) đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

+ Do A thuộc (C ) nên A(1; 1-m) .

Đạo hàm y’ = 4x³- 4mx nên y’ (1) = 4 - 4m .

+ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là y - 1+ m = y’(1).(x-1),

Hay (4 - 4m).x - y - 3(1 - m) = 0.

+ Khi đó $d (B; ∆) = \frac{|- 1|}{\sqrt{16 {(1 - m)}^{2} + 1}} \leq 1$ ,

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi khi m = 1.

Do đó khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất bằng 1 khi và chỉ khi m= 1.

Chọn B.

Câu 20:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 3}{x + 1}$ có đồ thị là (C) . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng d₁: 3x+ 4y-2=0 bằng 2.

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 0.

Xem đáp án

+ Giả sử M( $x_{0}; y_{0}) \in (C)$ suy ra $y_{0} = \frac{2 x_{0} + 3}{x_{0} + 1}$

+Ta có

Ta tìm được 4 điểm M suy ra có 4 tiếp tuyến.

Chọn C.