20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P7)

Câu 1:

Biết đồ thị hàm số $y = \frac{(2 m - n) x^{2} + m x + 1}{x^{2} + m x + n - 6}$ (m, n là tham số) nhận trục hoành và trục tung làm hai đường tiệm cận. Tính m+ n

A. 3

B. 8

C. 9

D. 10

Xem đáp án

+ Ta có

Do đó đường thẳng y= 2m- n là TCN

+ Mà y= 0 là tiệm cận ngang của ĐTHS nên 0 = 2m- n

+ Vì x= 0 là TCĐ của ĐTHS nên x= 0 là nghiệm của phương trình x²+ mx+n- 6= 0

Vậy $\{\begin{array}{l} 2 m - n = 0 \\ n = 6 \end{array} \Rightarrow \{\begin{array}{l} m = 3 \\ n = 6 \end{array} \Rightarrow m + n = 9$

Chọn C.

Câu 2:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sqrt{1 + 2 \cos x} + \sqrt{1 + 2 \sin x} = \frac{m}{2}$ có nghiệm thực?

A. 3

B. 1

C. 4

D. 6

Xem đáp án

Xét $x \in [- π; π]$ mà $\{\begin{cases} 2 \sin x + 1 \geq 0 \\ 2 \cos x + 1 \geq 0 \end{cases}$ suy ra $x \in [- \frac{π}{6}; \frac{2 π}{3}]$

Ta có:

Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) \Rightarrow t \in [\frac{\sqrt{3} - 1}{2}; \sqrt{2}]$

Và 2.sinx.cos x= t²- 1

Khi đó:

Suy ra y = f( t) là hàm số đồng biến trên $[\frac{\sqrt{3} - 1}{2}; \sqrt{2}] \Rightarrow \{\begin{cases} m i n f (t) = f (\sqrt{2}) = 2 + 2 \sqrt{2} \\ m a x f (t) = f (\frac{\sqrt{3} - 1}{2}) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \end{cases}$

Do đó, để f( t) = m²/8 có nghiệm $\Leftrightarrow \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \leq \frac{m^{2}}{8} \leq 2 + 2 \sqrt{2} \Leftrightarrow 2 \sqrt{1 + \sqrt{3}} \leq m \leq 4 \sqrt{1 + \sqrt{2}}$

Mà m nguyên chọn m= 5; 6;7; 8.

Chọn C.

Câu 3:

Xét hàm số $f (x) = |x^{2} + a x + b|$ với a, b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [- 1; 3]. Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a.b

A. 2

B. -3

C. -3/2

D. 2/3

Xem đáp án

Ta có

Từ (1) và (2), kết hợp với $|x| + |y| + |z| \geq |x + y + z|$ ta được

Giá trị nhỏ nhất của M là 2 .

Dấu bằng xảy ra khi

cùng dấu

Do đó $\{\begin{array}{l} a = - 2 \\ b = - 1 \end{array} \Rightarrow a b = 2$

Chọn A.

Câu 4:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ có đồ thị (C) . Tìm tất cả các giá trị thực của tham m số sao cho đường thẳng d: y= x+m-1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A; B thỏa mãn $A B = 2 \sqrt{3}$

A. $m = 2 \pm \sqrt{10}$

B. $m = 4 \pm \sqrt{10}$

C. $m = 4 \pm \sqrt{3}$

D. $m = 2 \pm \sqrt{3}$

Xem đáp án

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{2 x + 1}{x + 1} = x + m - 1 (x \neq - 1) \Leftrightarrow x^{2} + (m - 2) x + (m - 2) = 0 (*)$

Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt khác - 1

Khi đó d cắt ( C) tại A( x₁; x₁+ m- 1) ; B ( x₂; x₂+ m- 1)

Áp dụng định lý Vi-et $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - m + 2 \\ x_{1} x_{2} = m - 2 \end{cases}$ ta có:

Vậy $m = 4 \pm \sqrt{10}$

Chọn B.

Câu 5:

Cho hàm số $y = \frac{12 + \sqrt{4 x - x^{2}}}{\sqrt{x^{2} - 6 x + 2 m}}$ có đồ thị ( C) . Gọi tập S tất cả các giá trị của tham số thực m để ( C) có đúng hai tiệm cận đứng. Hỏi tập S có bao nhiêu giá trị nguyên

A. 0

B. 1

C. 3

D. 4

Xem đáp án

ĐKXĐ: $\{\begin{cases} 0 \leq x \leq 4 \\ x^{2} - 6 x + 2 m > 0 \end{cases}$

Ta có $12 + \sqrt{4 x - x^{2}} \neq 0 \forall x$ nên để ( C) có hai tiệm cận đứng thì phương trình
$\sqrt{x^{2} - 6 x + 2 m} = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 6 x + 2 m = 0 (*)$ có hai nghiệm phân biệt thuộc [ 0; 4]

Đế phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì $∆' = 9 - 2 m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{9}{2}$

Gọi 2 nghiệm phân biệt của (*) là x₁< x₂ ta có 0≤ x₁< x₂≤ 4.

Theo định lí Vi-et ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 6 \\ x_{1} x_{2} = 2 m \end{cases}$

Khi đó

Kết hợp nghiệm ta có $4 \leq m < \frac{9}{2}$

Mà m nguyên nên m = 4

Chọn B.

Câu 6:

Cho hàm số y= f( x) có đồ thị như hình vẽ bên

Tìm số điểm cực trị của hàm số y= 2^{f( x)}– 3^{f( x)}

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Xét hàm số

Dựa vào đồ thị hàm số y= f( x) , ta thấy:

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt (vì hàm số y= f (x) có 3 điểm cực trị).

Phương trình (2) vô nghiệm vì đường thẳng $y = \log_{\frac{2}{3}} (\frac{\ln 3}{\ln 2}) < - 1$ không cắt ĐTHS.

Vậy phương trình g’ (x) =0 có 3 nghiệm phân biệt hay hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Chọn D.

Câu 7:

Cho f(x) là đa thức thỏa mãn $\lim_{x \to 2} \frac{f (x) - 20}{x - 2} = 10$ . Tính $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{6 f (x) + 5} - 5}{x^{2} + x + 6}$

A. $T = \frac{12}{25}$

B. $T = \frac{4}{25}$

C. $T = \frac{5}{25}$

D. $T = \frac{6}{25}$

Xem đáp án

Đặt

Vì $\lim_{x \to 2} \frac{f (x) - 20}{x - 2} = 10$ nên f( x) -20 =0 hay f( x) = 20 nên P =5

Khi đó

Suy ra

T= $\lim_{x \to 2} \frac{f (x) - 20}{x - 2} . \lim_{x \to 2} \frac{6}{(x - 3) (P^{2} + 5 P + 25)} = 10 . \frac{6}{5.75} = \frac{4}{25}$

Chọn B.

Câu 8:

Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y= x⁴-2m²x²+ m ⁴+ 3 có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành tứ giác nội tiếp.

A. $S = \{- \frac{1}{\sqrt{3}}; 0; \frac{1}{\sqrt{3}}\}$

B. $S = \{- 1; 1\}$

C. $S = \{- \frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}}\}$

D. $S = \{- \frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{2}}\}$

Xem đáp án

Ta có đạo hàm

Để hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi m≠0.

Khi đó, tọa độ 3 điểm cực trị là: A( 0; m⁴+ 3) ; B( m; 3) và C( -m; 3) là ba điểm cực trị.

Vì y_A> y_B= y_C n ên yêu cầu bài toán; tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn ( C)

Và $\{\begin{cases} A B = A C \\ O B = O C \end{cases}$ suy ra OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Suy ra OA là đường kính của đường tròn $(C) \Rightarrow \vec{O B} . \vec{A B} = 0 (1)$

Mà

suy ra (do m ≠ 0)

Chọn C.

Câu 9:

Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $5^{x + 2 y} + \frac{3}{3^{x y}} + x + 1 = \frac{5^{x y}}{5} + 3^{- x - 2 y} + y (x - 2)$

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =x + y.

A. $T_{m i n} = 2 + 3 \sqrt{2}$

B. $T_{m i n} = 3 + 2 \sqrt{3}$

C. $T_{m i n} = 1 + \sqrt{5}$

D. $T_{m i n} = 5 + 3 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Từ giả thiết ta suy ra

Xét hàm số $f (t) = 5^{t} - \frac{1}{3^{t}} + t$ với $t \in ℝ, f' (t) = 5^{t} . \ln 5 + 3^{- t} . \ln 3 + 1 > 0; \forall t \in ℝ$

Suy ra y= f( t) là hàm số đồng biến trên R mà từ ( * ) suy ra

f (x+ 2y) =f( xy-1) hay x+ 2y= xy-1

với x>0 suy ra y>1.

Khi đó

Xét hàm số

$f (y) = \frac{y^{2} + y + 1}{y - 1} t r ê n (1; + \infty) f' (y) = \frac{y^{2} - 2 y - 2}{{(y - 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow y = 1 \pm \sqrt{3}$

Vẽ BBT ta thấy với f(y) trên $(1; + \infty)$ đạt GTNN tại y = $1 + \sqrt{3}$

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là $f (1 + \sqrt{3}) = 3 + 2 \sqrt{3}$ .

Vậy kết quả là $3 + 2 \sqrt{3}$

Chọn B.

Câu 10:

Cho hàm số y = f(x) = x⁴+ 2mx²+ m . Tìm m để f(x) > 0 mọi x.

A. m>0

B. m<0

C. m≠0

D. m>1

Xem đáp án

Chọn A

y = f(x) = x⁴+ 2mx²+ m > 0 mọi x

Xét

Khi đó : g’(x) = 0 khi x = 0

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên (*) suy ra m > 0.

Câu 11:

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số $y = \frac{2 x^{2} + (1 - m) x + 1 + m}{x - m}$ đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$ ?

A. 3.

B. 1.

C. 2.

D. 0.

Xem đáp án

Tập xác định D=R\{m}.

Ta có

Hàm số đồng biến trên $(1; + \infty)$ khi và chỉ khi $g (x) \geq 0 v à m \leq 1$ (1)

Vì $∆'_{g} = 2 {(m + 1)}^{2} \geq 0, \forall m$ nên (1) tương đương g(x)=0 có hai nghiệm thỏa $x_{1} \leq x_{2} \leq 1$

Điều kiện tương đương là

Do đó không có giá trị nguyên dương của m thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Câu 12:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $α$ và $β$ sao cho hàm số sau luôn giảm trên R? $y = f (x) = \frac{- x^{3}}{3} + \frac{1}{2} (\sin α + \cos α) x^{2} - \frac{3}{2} x \sin α \cos α - \sqrt{β - 2}$

A. $\frac{π}{12} + k π \leq α \leq \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ, β \geq 2 .$

B. $\frac{π}{12} + k π \leq α \leq \frac{5 π}{12} + k π, k \in ℤ, β \geq 2 .$

C. $α \leq \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ, β \geq 2 .$

D. $α \geq \frac{5 π}{12} + k π, k \in ℤ, β \geq 2 .$

Xem đáp án

Điều kiện xác định: $β \geq 2$

$y' = - x^{2} + (\sin α + \cos α) x - \frac{3}{2} \sin α . \cos α$

Yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình $\frac{1}{2} \leq \sin 2 α \leq 1$

Kết luận: $\frac{π}{12} + k π \leq α \leq \frac{5 π}{12} + kπ, k \in ℤ và β \geq 2$

Chọn B.

Câu 13:

Tìm mối liên hệ giữa các tham số a và b sao cho hàm số y = f(x) = 2x + a.sinx + b.cosx luôn tăng trên R?

A. $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$

B. $a + 2 b = 2 \sqrt{3}$

C. $a^{2} + b^{2} \leq 4$

D. $a + 2 b \geq \frac{1 + \sqrt{2}}{3}$

Xem đáp án

Tập xác định D = R.

Ta có: y’ = 2 + a.cosx - b.sinx

Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta có

Yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình

Chọn C.

Câu 14:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y= (m-3)x- (2m+1).cos x luôn nghịch biến trên R?

A. $- 4 \leq m \leq \frac{2}{3}$

B. m> 2

C. $\{\begin{cases} m > 3 \\ m \neq 1 \end{cases}$

D. m<2

Xem đáp án

Chọn A.

Tập xác định:D= R. Ta có:y ‘= m-3 + (2m+1).sinx

Hàm số nghịch biến trên R

Trường hợp 1: m= -1/ 2 ; ta có $0 \leq \frac{7}{2} \forall x \in ℝ$

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên R.

Trường hợp 2: m< -1/ 2 ; ta có

Trường hợp 3:m > -1/2 ; ta có:

Vậy $- 4 \leq m \leq \frac{2}{3}$

Câu 15:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $y = \frac{\tan x - 2}{\tan x - m}$ đồng biến trên khoảng $(0; \frac{π}{4})$

A. $m \leq 0$ hoặc $1 \leq m < 2$

B. $m \leq 0$

C. $1 \leq m < 2$

D. $m \geq 2$

Xem đáp án

Chọn A

Đặt t= tanx, vì $x \in (0; \frac{π}{4}) \Rightarrow t \in (0; 1)$

Xét hàm số $f (t) = \frac{t - 2}{t - m} \forall t \in (0; 1)$

Tập xác định : D= R \{m}

Ta có $f' (t) = \frac{2 - m}{{(t - m)}^{2}}$

Để hàm số y đồng biến trên khoảng $(0; \frac{π}{4})$ khi và chỉ khi: f’ ( t) >0 với 0< t< 1

Câu 16:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số $y = \ln (x^{2} + 1) - m x + 1$ đồng biến trên khoảng ( -∞; +∞).

A. $(- \infty; - 1]$

B. $(- \infty; - 1)$

C. $[- 1; 1]$

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $y' = \frac{2 x}{x^{2} + 1} - m$

Hàm số $y = \ln (x^{2} + 1) - m x + 1$ đồng biến trên khoảng( -∞; +∞). Khi và chỉ khi y’ ≥0 với mọi . $\Leftrightarrow g (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1} \geq m, \forall x \in (- \infty; + \infty)$

Ta có

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Câu 17:

Gọi x₁; x₂là hai điểm cực trị của hàm số y= 4x³+mx²-3x. Tìm các giá trị thực của tham số m để x₁+4x₂=0

A. $m = \pm \frac{9}{2}$

B. m=±1

C. m=0

D. m= ±2

Xem đáp án

Ta có y’=12x²+2mx-3.

Do $∆' = m^{2} + 36 > 0, \forall m \in ℝ$ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị x₁; x₂.

Theo Viet, ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - \frac{m}{6} \\ x_{1} x_{2} = - \frac{1}{4} \end{cases}$

Mà x₁+4x₂=0 suy ra

Chọn A.

Câu 18:

Cho hàm số $y = 2 x^{3} + 3 (m - 1) x^{2} + 6 (m - 2) x - 1$ với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng (-2; 3) .