Đáp án A

+ Khi có sóng dừng, phần tử dây cách nút một đoạn d dao dộng với biên độ $a=A\left|\sin \left(\frac{2\pi d}{\lambda }\right)\right|$ , phần tử dây cách bụng một đoạn d dao động với biên độ $a=A\left|\cos \left(\frac{2\pi d}{\lambda }\right)\right|$ .

+ Với $a_2=3$ mm, lớn hơn $a_1=2$ mm → hai điểm gần nhau nhất dao động cùng biên độ $a_2$ phải đối xứng nhau qua bụng sóng, hai điểm dao động với cùng biên độ $a_1$ phải đối xứng nhau qua nút sóng

→$\left\{\begin{array}{l}{a}_1=A\left|\sin \left(\frac{\pi d}{2}\right)\right|\\ a_2=A\left|\cos \left(\frac{\pi d}{2}\right)\right|\end{array}\right.$↔$\left\{\begin{array}{l}2=A\left|\sin \left(\frac{10\pi }{\lambda }\right)\right|\\ 3=A\left|co\text{s}\left(\frac{10\pi }{\lambda }\right)\right|\end{array}\right.$→$\left\{\begin{array}{l}A=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\\ \lambda =53\end{array}\right.$mm.

+ Khoảng cách giữa hai nút sóng liên tiếp là $\Delta d=\frac{\lambda }{2}=26,7mm$

Đáp án C

+ Khoảng cách giữa nút và bụng gần nhất là $\Delta d=\frac{\lambda }{4}=18$ cm → $\lambda =72$ cm.

Ta có $AM=\frac{\lambda }{6}=12$ cm → M sẽ dao động với biên độ $a_M=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}_B$ → $v_{Mmax}=\frac{\sqrt{3}}{2}{v}_{Bmax}$ .

→ Thời gian trong một chu kì, tốc độ của phần tử B nhỏ hơn  vận tốc cực đại của M là 0,1 s tương ứng với $\Delta t=\frac{2T}{3}=0,1$s → $T=0,15$ s → vận tốc truyền sóng $v=\frac{\lambda }{T}=4,8$ m/s 

Đáp án C

Với bước sóng $\lambda =12$cm → điểm C và B thuộc hai bó sóng liên tiếp nhau.

→ B và C luôn dao động ngược pha nhau, với hai đại lượng ngược pha, ta luôn có:

$\frac{u_C}{u_B}=-\frac{a_C}{a_B}=-\frac{\left|\sin \left(\frac{2\pi AB}{\lambda }\right)\right|}{\left|\sin \left(\frac{2\pi AC}{\lambda }\right)\right|}$$=\frac{\left|\sin \left(\frac{2\pi .8}{12}\right)\right|}{\left|\sin \left(\frac{2\pi .1}{12}\right)\right|}=-\sqrt{3}$$\to u_C=-\sqrt{3}cm$

Đáp án D

+ Khoảng cách từ vị trí cân bằng của một nút đến một bụng gần nhất là một phần tư lần bước sóng → $\lambda =24$ cm → Chu kì của sóng $T=\frac{\lambda }{v}=\frac{0,24}{1,2}=0,2$ s.

Biên độ dao động một điểm trên dây cách nút gần nhất một đoạn d được xác định bởi biểu thức $a=A\left|\sin \frac{2\pi d}{\lambda }\right|$→$\left\{\begin{array}{l}{a}_P=2\sqrt{2}\\ a_Q=2\sqrt{3}\end{array}\right.$cm.

+ Ta chú ý rằng P và Q nằm trên hai bó sóng đối xứng nhau qua một bó nên dao động cùng pha, tại thời điểm t, thì $u_P=\frac{a_P}{2}=\sqrt{2}$cm thì $u_Q=\frac{a_Q}{2}=\sqrt{3}$cm và cũng đang hướng về vị trí cân bằng.

→ Từ hình vẽ, ta thấy khoảng thời gian tương ứng sẽ là $\Delta t=\frac{3T}{4}=0,015$ s

Đáp án A

Các điểm cách đều nhau dao động với cùng biên độ mà không phải là bụng chỉ có thế là các vị trí cách nút gần nhất một đoạn $\frac{\lambda }{8}$ và dao động với biên độ bằng $\frac{\sqrt{2}}{2}{A}_b$ với $A_b$ là biên độ của điểm bụng

+ Khoảng cách giữa hai điểm ngoài cùng $L=\frac{7\lambda }{4}=7$ m → $\lambda =0,8$m; $\omega =\pi$ rad/s

+ Tốc độ cực đại của phần tử dây ứng với chuyển động của điểm bụng khi đi qua vị trí cân bằng $v_{max}=\omega A_b=\pi \left(4\sqrt{2}\right)\sqrt{2}=8\pi$cm/s

Đáp án A

+ Biên độ dao động của phần tử dây cách nút một đoạn $A_M=\text{A}\left|\text{sin}\left(\frac{2\pi d}{\lambda }\right)\right|$ : →$\left\{\begin{array}{l}{A}_C=\frac{\sqrt{2}}{2}A=1,5\sqrt{2}\\ A_D=\frac{A}{2}=1,5\end{array}\right.$cm.

Ta chú ý rằng hai điểm C và D nằm ở hai bó sóng đối xứng nhau qua một nút do đó sẽ dao động ngược pha nhau → Tại thời điểm ban đầu $t_0$, C đang ở biên dương cm thì khi đó D đang ở biên âm $u_D=-1,5\sqrt{2}$ cm

+ Khoảng thời gian ∆t ứng với góc quét $\phi =\omega \Delta t=20\pi +\frac{3\pi }{4}$ → sau khoảng thời gian đó $u_D=0$ cm

Đáp án D

M và N nằm trên hai bó sóng liên tiếp sẽ dao động ngược pha nhau 

+ Khoảng cách giữa M và N nhỏ nhất khi M và N cùng đi qua vị trí cân  bằng theo hai chiều ngược nhau $d_{\min }=\frac{\lambda }{3}=8$ cm

+ Khoảng cách giữa M và N lớn nhất khi M và N đang ở vị trí biên $d_{ma\text{x}}=1,25{\text{d}}_{\min }=1,25.8=10$ cm

Từ hình vẽ ta có $d_{ma\text{x}}=\sqrt{{\left(2{\text{A}}_M\right)}^2+d_{\min }^2}$ → $A_M=3$ cm

+ M cách bụng gần nhất một đoạn $\frac{\lambda }{6}$ → $A_M=\frac{\sqrt{3}}{2}A=2\sqrt{3}$ cm

Đáp án D

+ B là bụng thứ hai kể từ nút A → $AB=\frac{\lambda }{2}+\frac{\lambda }{4}=30$ cm → λ = 40 cm.

Chu kì của sóng $T=\frac{\lambda }{v}=\frac{40}{50}=0,8$ s.

+ Biên độ dao động của của điểm C: $A_C=A_B\left|\sin \frac{2\pi AC}{\lambda }\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}{A}_B$ với $A_B$ là biên độ của điểm B.

→ Trong một chu kì khoảng thời gian giữa hai lần li độ của B bằng biên độ của C là $\Delta t=\frac{T}{4}=0,2$ s.

Đáp án B

+ Sóng dừng xảy ra trên dây với 4 điểm đứng yên →$l=3\frac{\lambda }{2}$→$\lambda =\frac{2l}{3}=\frac{2.36}{3}=24$cm.

→ Biên độ dao động của điểm bụng $A=\frac{v_{max}}{\omega }=\frac{800\pi }{100\pi }=8$ cm.

+ Khoảng cách giữa hai điểm bụng là nhỏ nhất khi chúng cùng đi qua vị trí cân bằng và lớn nhất khi chúng cùng đến biên theo hai chiều người nhau.

→ $\frac{x}{y}=\frac{12}{\sqrt{{12}^2+{16}^2}}=0,6$

Đáp án B

Trên dây có sóng dừng với 5 bó sóng → $\lambda =\frac{2l}{n}=\frac{2.15}{5}=6$ cm.

+ Biên độ dao động của điểm cách nút một đoạn d được xác định bằng biểu thức:

$A=A_b\left|\sin \frac{2\pi d}{\lambda }\right|$→ $\left\{\begin{array}{l}{A}_M=1.\left|\sin \frac{2\pi .4}{6}\right|=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ A_M=1.\left|\sin \frac{2\pi .8}{6}\right|=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$ cm.

+ M và N nằm trên hai bó sóng liên tiếp nhau → $M{N}_{min}$ khi M, N cùng đi qua vị trí cân bằng; $M{N}_{max}$ khi M, N ở vị trí biên.

→ $\frac{M{N}_{max}}{M{N}_{\min }}=\frac{\sqrt{3^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}}{3}=1,2$

Đáp án A

+ Với M, N, P, Q là các điểm cách đều nhau và dao động với cùng biên độ → Các điểm này chỉ có thể là bụng sóng cách nhau nửa bước sóng hoặc các điểm dao động với biên độ $\frac{\sqrt{2}}{2}{A}_b$ cách nhau một phần tám bước sóng.

→ Trường hợp M, N, P và Q là các bụng sóng → $AB=4\frac{\lambda }{2}=32cm$→ λ = 16 cm.

+ M, Q thuộc hai bó sóng đối xứng nhau qua một nút sóng nên dao động ngược pha nhau.

→ $M{Q}_{min}$ tương ứng với M và Q cùng đi qua vị trí cân bằng theo hai chiều ngược nhau, $M{Q}_{max}$ tương ứng với M ở biên dương và Q ở biên âm.

Ta có tỉ số $\frac{M{Q}_{max}}{M{Q}_{\min }}=\frac{\sqrt{{24}^2+{10}^2}}{24}=\frac{13}{12}$

→ Trường hợp M, N, P và Q là các điểm dao động với biên độ bằng $\frac{\sqrt{2}}{2}{A}_b$→ $AB=2\frac{\lambda }{2}=32$ cm → λ = 32 cm.

+ M, Q thuộc hai bó sóng đối xứng nhau qua một nút sóng nên dao động ngược pha nhau.

→$M{Q}_{min}$ tương ứng với M và Q cùng đi qua vị trí cân bằng theo hai chiều ngược nhau, $M{Q}_{max}$ tương ứng với M ở biên dương và Q ở biên âm.

Ta có tỉ số $\frac{M{Q}_{max}}{M{Q}_{\min }}=\frac{\sqrt{{24}^2+{10}^2}}{24}=\frac{13}{12}$

Đáp án B

+ Điểm M và N dao động cùng vớ biên độ $a_M=a_N=\frac{\sqrt{3}}{2}{A}_b=20\sqrt{3}mm$→ M và N cách nút một đoạn $\frac{\lambda }{6}$

Mặc khác giữa M và N các điểm dao động với biên độ nhỏ hơn biên độ của M, N do vậy M và N nằm hai bên một nút sóng.

+ Ta có $\frac{\lambda }{6}+\frac{\lambda }{6}=5cm$$\to \lambda =15cm$

Đáp án C

+ Khi xảy ra sóng dừng, các điểm liên tiếp có cùng biên độ chỉ có thể là điểm bụng và điểm dao động với biên độ → điểm dao động với biên độ $\frac{\sqrt{2}}{2}{A}_b$ liên tiếp các nhau $\frac{\lambda }{4}=3cm$$\to \lambda =12cm$

→ Hai điểm cách nhau $\frac{\lambda }{3}=4cm$ có hiệu biên độ lớn nhất là $\frac{\sqrt{3}}{2}{A}_b=2\sqrt{3}cm$

Đáp án A

Khi sợi dây duỗi thẳng → các phần tử dây đều đi qua vị trí cân bằng với tốc độ cực đại.

+ Tổng chiều dài đoạn dây trên đó có các phần tử dao động với tốc độ lớn hơn 60 cm/s là $\frac{2L}{3}$→ điểm dao động với tốc độ 60 cm/s cách nút gần nhất một đoạn $\frac{\lambda }{6}$→ 60 cm/s ứng với $\frac{1}{2}{v}_{max}$→$v_{max}=120cm$

+ Điểm có vị trí cân bằng cách nút $\frac{\lambda }{8}$ sẽ dao động với tốc độ $v=\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{max}=60\sqrt{2}$

Đáp án D

+ A, B dao động mạnh nhất ứng với hai “bụng sóng”. Hai bụng sóng này liên tiếp nên dao động ngược pha nhau.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}A{B}_{max}=0,5\lambda +2a=14\\ A{B}_{\min }=0,5\lambda -2a=10\end{array}\right.$cm$\to \left\{\begin{array}{l}\lambda =24\\ a=1\end{array}\right.$cm

+ Khi khoảng cách giữa $AB=0,5\lambda =12cm$→ chúng cùng đi qua vị trí cân bằng

$\to v=v_{max}=\omega A=\frac{2\pi vA}{\lambda }=\frac{2\pi \mathrm{.120.1}}{24}=10\pi cm/s$

Đáp án C

+ Giả sử nguồn phát sóng có biên độ là a.

→ điểm có sóng tới và sóng phản xạ lệc pha nhau $\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$ sẽ dao động với biên độ $A=\sqrt{a^2+a^2+2.a.a\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)}=a$→ bằng một nửa biên độ dao động của điểm bụng.

+ Khi xảy ra sóng dừng, các điểm đối xứng nhau qua một bụng sóng thì dao động cùng pha → hai điểm thõa mãn yêu cầu của bài toán cách nhau một đoạn $\Delta x=\frac{\lambda }{2}-\frac{\lambda }{6}=\frac{\lambda }{3}=3cm$ $\to \lambda =9cm$ → Tốc độ truyền sóng trên dây $v=\lambda f=9.10=90cm/s$

Đáp án D

Khi xảy ra sóng dừng, hai điểm bụng gần nhất luôn dao động ngược pha.

→ Khoảng cách giữa chúng là cực đại khi chúng ở biên.

+ Ta có $8^2={\left(\frac{\lambda }{2}\right)}^2+{\left(2a\right)}^2$

+ Khi tốc độ của A và B bằng một nửa tốc độ cực đại thì $u=\frac{\sqrt{3}}{2}a\to 7^2={\left(\frac{\lambda }{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{3}a\right)}^2$

Từ hai phương trình trên, ta tìm được $\lambda =4cm$

Đáp án B

+ Sóng dừng xảy ra trên dây với 10 bụng sóng → 5λ = 0,6 m → λ = 12 cm.

+ Ta có M là bụng sóng, N và P là các điểm dao động với biên độ $\left\{\begin{array}{l}{A}_N=\frac{1}{2}A\\ A_P=\frac{\sqrt{3}}{2}A\end{array}\right.$

Ta có $A_M – A_N = 0,5A_M = 3 mm$$\to A_M = 6 mm.$

+ Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp để li độ tại M bằng biên độ tại P là $\Delta t=\frac{T}{6}=0,004s$→ T = 0,024 s.

→ Tốc độ dao động cực đại của M là $v_{Mmax}=\frac{2\pi A_M}{T}=\frac{2\pi .6}{0,024}=500\pi mm/s$

Đáp án D

+ B là bụng thứ hai kể từ nút A →$AB=\frac{\lambda }{2}+\frac{\lambda }{4}=30cm$→ λ = 40 cm

Chu kì của sóng $T=\frac{\lambda }{v}=\frac{40}{50}=0,8s$

+ Biên độ dao động của của điểm C: $A_C=A_B\left|\sin \frac{2\pi AC}{\lambda }\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}{A}_B$ với $A_B$ là biên độ của điểm B.

→ Trong một chu kì khoảng thời gian giữa hai lần li độ của B bằng biên độ của C là Δt = 0,25T = 0,2 s.

Đáp án C

Các vị trí sóng tới và sóng phản xạ lệch pha nhau thì biên độ dao động tại điểm này là $A=\sqrt{A^2+A^2+2\text{A}.Ac\text{os}\left(\frac{\pi }{3}\right)}=A\sqrt{3}$

Các điểm dao động với với biên độ $\left(2\text{A}\right)\frac{\sqrt{3}}{2}$(2A là biên độ của bụng) sẽ cách nút một đoạn , hai phần tử này lại ngược pha, gần nhất nên $\Delta x=a=\frac{\lambda }{3}\Rightarrow \lambda =3\text{a}$

+ Xét tỉ số $n=\frac{9\text{a}}{1,5\text{a}}=6\Rightarrow$ trên dây xảy ra sóng dừng với 6 bó, các phần tử dao động với biên độ bằng nửa biên độ bụng và cùng pha, xa nhau nhất nằm trên bó thứ nhất và bó thứ 5, vậy ta có: $d_{ma\text{x}}=\frac{5\lambda }{2}-\frac{\lambda }{12}-\frac{\lambda }{12}=7\text{a}$

Đáp án B

+ Phương pháp đại số

Phương trình dao động của một điểm trên dây cách nút gần nhất một khoảng x, khi có sóng dừng là $u=2\text{a}co\text{s}\left(\frac{2\pi x}{\lambda }+\frac{\pi }{2}\right)\text{cos}\left(\omega t-\frac{\pi }{2}\right)$

Bước sóng của sóng truyền trên dây $\lambda =4\text{A}B=40cm$

Biên độ của phần từ tại C: $a_C=a_B\left|co\text{s}\left(\frac{2\pi x}{\lambda }+\frac{\pi }{2}\right)\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}{a}_B$

=>Khoảng thời gian ngắn ngất giữa hai lần liên tiếp li độ sóng tại B bằng biên độ sóng tại C là $\frac{T}{4}$, từ đây ta tính được tốc độ truyền sóng trên dây $v=\frac{\lambda }{T}=0,5$ m/s.

+ Phương pháp đường tròn.

+ Điểm C cách nút một đoạn $\frac{\lambda }{8}$ sẽ dao động với biên độ $a_C=\frac{\sqrt{2}}{2}{a}_B$. Từ hình vẽ ta cũng tính được góc quét φ ứng với khoảng thời gian ngắn nhất li độ của B bằng biên độ của C là φ = 0,5π.

+ Ta tính được tốc độ truyền sóng trên dây $v=\frac{\lambda }{T}=0,5$m/s

Đáp án D

+ Ta để ý đến giả thuyết của bài toán, hai điểm dao động cùng biên độ 5 mm nhưng cùng pha nhau =>  hai điểm này đối xứng qua một bụng. Hai điểm khác cũng dao động với biên độ đúng bằng 5 mm nhưng lại cách xa nhau nhất mà không cùng pha vậy hai điểm này phải ngược pha nhau

+ Từ hình vẽ, (1) và (2) là hai điểm dao đông với cùng biên độ và cách xa nhau nhất. (3) và (4) là hai điểm dao động cùng biên độ và cùng pha, cũng cách xa nhau nhất.

+ Ta dễ dàng xác định được $\frac{\lambda }{2}=80-65\Rightarrow \lambda =30cm$

+ Biên độ của các điểm cách bụng một đoạn d: $5=a\left|cos\frac{2\pi d}{\lambda }\right|\stackrel{d=\frac{65}{2}}{\to }a=\frac{10}{\sqrt{3}}mm$

+ Ta có tỉ số $\delta =\frac{\omega a}{v}=\frac{2\pi a}{\lambda }=0,12.$

Đáp án A

Sóng truyền trên dây có bước sóng là $\sin \left(\frac{2\pi d}{\lambda }\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)\to d=\frac{\lambda }{12}$$\to 2=\frac{\lambda }{12}\to \lambda =24\left(cm\right)$

Đáp án D

Tỉ số giữa biên độ dao động của M và biên độ dao động của N là $\frac{2a\sin \left({\displaystyle \frac{2\pi .16}{24}}\right)}{2.a.\sin \left({\displaystyle \frac{2\pi .27}{24}}\right)}=-\frac{6}{\sqrt{2}}$