46 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Xác suất của biến cố và các quy tắc tính xác suất

Câu 1:

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên bé hơn 10001000. Xác suất để số đó chia hết cho 55 là:

A. $\frac{1}{5}$

B. $\frac{201}{1000}$

C. $\frac{200}{999}$

D. $\frac{199}{999}$

Xem đáp án

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên bé hơn 1000 ta có |Ω| = 1000

Gọi A là biến cố chọn được số chia hết cho 5.
Khi đó: A = {5k|0 ≤ 5k < 1000} = {5k| 0 ≤ k < 200}
Nên |A| = 200

Vậy

P (A) = \frac{|A|}{Ω} = \frac{200}{1000} = \frac{1}{5}

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2:

Một hộp đựng 11 thẻ được đánh số 1, 2, 3,…, 11. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ và tính tổng các số ghi trên ba thẻ đó. Tính xác suất để tổng nhận được bằng 12.

A. $\frac{1}{15}$

B. $\frac{7}{165}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{3}{55}$

Xem đáp án

Rút ngẫu nhiên 3 thẻ trong một hộp đựng 11 thẻ ta có

|Ω| = C_{11}^{3} = 165

Gọi A là biến cố rút được 3 thẻ và tổng các số ghi trên 3 thẻ bằng 12.
Vì 12 = 1 + 2 + 9 = 1 + 3 + 8 = 1 + 4 + 7
= 1 + 5 + 6 = 2 + 3 + 7 = 2 + 4 + 6 = 3 + 4 + 5
Nên |A| = 7

Vậy

P (A) = \frac{|A|}{|Ω|} = \frac{7}{165}

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3:

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 7 là:

A. $\frac{2}{9}$

B. $\frac{1}{6}$

C. $\frac{7}{36}$

D. $\frac{5}{36}$

Xem đáp án

Ta có: n(Ω) = 6.6 = 36.
Gọi A: “tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 7”.
A = {(1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1)}.
Do đó n(A) = 6.
Vậy

P (A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{6}

Đáp án cần chọn là: B

Câu 4:

Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng hai mặt bằng 11 là.

A. $\frac{1}{18}$

B. $\frac{1}{6}$

C. $\frac{1}{8}$

D. $\frac{2}{15}$

Xem đáp án

Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 6² = 36
Gọi A là biến cố để tổng hai mặt là 11, các trường hợp có thể xảy ra của A là A = {(5; 6); (6; 5)}
Số phần tử của không gian thuận lợi là: n(A) = 2
Xác suất biến cố A là :

P (A) = \frac{1}{18}

Đáp án cần chọn là: A

Câu 5:

Cho đa giác đều 12 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 12 đỉnh của đa giác. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều là :

A. $\frac{1}{14}$

B. $\frac{1}{220}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{1}{55}$

Xem đáp án

Bước 1:
Gọi A là biến cố “3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều”.
Bước 2:
Số cách chọn 3 đỉnh bất kì trong 12 đỉnh là

|Ω| = C_{12}^{3}

Bước 3:
Để 3 đỉnh tạo thành 1 tam giác đều thì các đỉnh cách đều nhau. Do đó số cách chọn tam giác đều là

|Ω| = \frac{12}{3} = 4

Bước 4:
Vậy xác suất là

P = \frac{|Ω_{A}|}{|Ω|} = \frac{4}{C_{12}^{3}} = \frac{1}{55}

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6:

Gọi T là phép thử "Gieo đồng thời hai con súc sắc đối xứng và đồng chất". Gọi E là biến cố "Có đúng 1 con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm". Tính P(E).

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{5}{18}$

C. $\frac{11}{36}$

D. $\frac{1}{12}$

Xem đáp án

Gieo đồng thời hai con súc sắc đối xứng và đồng chất ta có
Ω = {(x; y)| 1 ≤ x ≤ 6; 1 ≤ y ≤ 6}. Do đó |Ω| = 6.6 = 36
E là biến cố "Có đúng 1 con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm". Khi đó:
E = {(1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (3; 1), (4; 1), (5; 1), (6; 1)}
Nên |E| = 10
Vậy

P (E) = \frac{|E|}{|Ω|} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}

Đáp án cần chọn là: B

Câu 7:

Có 8 quả cân lần lượt là 1kg,2kg,3kg,4kg,5kg,6kg,7kg,8kg. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân trong 8 quả cân đó. Tính xác suất để trọng lượng 3 quả cân được chọn không vượt quá 9kg.

A. $\frac{1}{15}$

B. $\frac{1}{7}$

C. $\frac{1}{28}$

D. $\frac{1}{8}$

Xem đáp án

Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân trong 8 quả cân ta có

|Ω| = C_{8}^{3} = 56

Gọi A là biến cố chọn được 3 quả cân và tổng trọng lượng 3 quả cân không vượt quá 9kg.
Vì
1 + 2 + 3 = 6 < 9
1 + 2 + 4 = 7 < 9
1 + 2 + 5 = 8 < 9
1 + 2 + 6 = 9
1 + 3 + 4 = 8 < 9
1 + 3 + 5 = 9
2 + 3 + 4 = 9
Nên |A| = 7

Vậy

P (A) = \frac{|A|}{|Ω|} = \frac{7}{56} = \frac{1}{8}

Đáp án cần chọn là: D

Câu 8:

Xếp ngẫu nhiên 3 nam và 3 nữ ngồi vào 6 ghế xếp thành hàng ngang. Xác suất để nam nữ ngồi xen kẽ nhau là:

A. $\frac{1}{15}$

B. $\frac{1}{20}$

C. $\frac{1}{10}$

D. $\frac{1}{5}$

Xem đáp án

Không gian mẫu Ω là tập các hoán vị của 6 phần tử, ta có: |Ω| = 6! = 720
Gọi A là biến cố nam và nữ ngồi xen kẽ nhau.
Đánh số ghế từ 1 đến 6.
TH1: Xếp nam vào các ghế 1, 3, 5 có 3! cách, xếp nữ vào các ghế 2, 4, 6 có 3! cách nên có 3!.3! cách.
TH2: Xếp nam vào các ghế 2, 4, 6 và xếp nữ vào các ghế 1, 3, 5 cũng có 3!.3! cách.
Khi đó |A| = 2.3!.3! = 72
Vậy

P (A) = \frac{|A|}{|Ω|} = \frac{72}{720} = \frac{1}{10}

Đáp án cần chọn là: C

Câu 9:

Xếp ngẫu nhiên 3 nam và 5 nữ ngồi vào 8 ghế xếp thành hàng ngang. Xác suất để 3 nam ngồi cạnh nhau.

A. $\frac{3}{28}$

B. $\frac{1}{20}$

C. $\frac{1}{10}$

D. $\frac{1}{5}$

Xem đáp án

Không gian mẫu Ω là tập các hoán vị của 8 phần tử, ta có: |Ω| = 8! = 40320
Gọi A là biến cố 3 nam ngồi cạnh nhau.
Coi 3 nam là một người và thêm 5 nữ là 6 người nên sẽ có 6! cách, hoán đổi vị trí của 3 nam ta có 3! cách nên:
|A| = 3!.6! = 4320
Vậy

P (A) = \frac{|A|}{|Ω|} = \frac{4320}{40320} = \frac{3}{28}

Đáp án cần chọn là: A

Câu 10:

Một chiếc hộp có 9 thẻ đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ rồi nhân hai số ghi trên hai thẻ với nhau. Xác suất để kết quả nhận được là một số lẻ.

A. $\frac{5}{18}$

B. $\frac{7}{12}$

C. $\frac{5}{12}$

D. $\frac{7}{18}$

Xem đáp án

Số phần tử của không gian mẫu Ω là

|Ω| = C_{9}^{2} = 36

Gọi A là biến cố “tích hai số ghi trên hai thẻ là lẻ”.
Vì tích của hai số lẻ là một số lẻ nên hai thẻ rút ra phải là lẻ, mà có 5 thẻ lẻ nên

|A| = C_{5}^{2} = 10

Suy ra

P (A) = \frac{|A|}{|Ω|} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}

Đáp án cần chọn là: A

Câu 11:

Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen, lấy ra ngẫu nhiên cùng một lúc 4 quả. Xác suất để lấy ra được 4 quả cùng màu là:

A. $\frac{3}{28}$

B. $\frac{1}{210}$

C. $\frac{1}{10}$

D. $\frac{8}{105}$

Xem đáp án

Không gian mẫu Ω là tổ hợp chập 4 của 10 phần tử, ta có:

|Ω| = C_{10}^{4} = 210

Gọi A là biến cố chọn được 4 quả cùng màu.
4 quả cùng màu có thể là 4 quả cùng màu trắng hoặc 4 quả cùng màu đen.
Ta có:

|A| = C_{6}^{4} + C_{4}^{4} = 15 + 1 = 16

Vậy

P (A) = \frac{|A|}{|Ω|} = \frac{16}{210} = \frac{8}{105}

Đáp án cần chọn là: D

Câu 12:

Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1, 2, 3, …, 9. Rút ngẫu nhiên 5 thẻ. Tính xác suất để các thẻ ghi số 1, 2, 3 được rút.

A. $\frac{5}{18}$

B. $\frac{1}{9}$

C. $\frac{1}{11}$

D. $\frac{5}{42}$

Xem đáp án

Số phần tử của không gian mẫu Ω là

|Ω| = C_{9}^{5} = 126

Gọi A là biến cố “Trong 5 thẻ được rút có các thẻ ghi số 1, 2, 3”.
Ta có:

|A| = C_{6}^{2} = 15

Suy ra

P (A) = \frac{|A|}{|Ω|} = \frac{15}{126} = \frac{5}{42}

Đáp án cần chọn là: D

Câu 13:

Có hai hộp đựng bi. Hộp I có 9 viên bi được đánh số 1, 2,… , 9 . Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi. Biết rằng xác suất để lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II là $\frac{3}{10}$ . Xác suất để lấy được cả hai viên bi mang số chẵn là:

A. $\frac{2}{15}$

B. $\frac{1}{15}$

C. $\frac{4}{15}$

D. $\frac{7}{15}$

Xem đáp án

Gọi X là biến cố: “lấy được cả hai viên bi mang số chẵn. “
Gọi A là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp I “

\Rightarrow P (A) = \frac{C_{4}^{1}}{C_{9}^{1}} = \frac{4}{9}

Gọi B là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II”

P (B) = \frac{3}{10}

Ta thấy biến cố A, B là 2 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:

P (X) = P (A . B) = P (A) . P (B) = \frac{4}{9} . \frac{3}{10} = \frac{2}{15}

Đáp án cần chọn là: A

Câu 14:

Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn có đúng một người nữ.

A. $\frac{1}{15}$

B. $\frac{7}{15}$

C. $\frac{8}{15}$

D. $\frac{1}{5}$

Xem đáp án

Gọi A là biến cố: “2 người được chọn có đúng một người nữ.”
Số cách chọn 2 trong 10 người là

n (Ω) = C_{10}^{2} = 45

Số cách chọn trong đó có 1 nữ và 1 nam là

n (A) = C_{3}^{1} . C_{7}^{1} = 21

\Rightarrow P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}

Đáp án cần chọn là: B

Câu 15:

Gieo đồng xu cân đối và đồng chất 5 lần liên tiếp. Xác suất để được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là:

A. $\frac{31}{32}$

B. $\frac{21}{32}$

C. $\frac{15}{16}$

D. $\frac{1}{32}$

Xem đáp án

Ta có: n(Ω) = 2⁵ = 32.
Biến cố A:”Được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”.
Khi đó: :”Tất cả đều là mặt ngửa”.
Suy ra:

P (\bar{A}) = \frac{1}{32}

\Rightarrow P (A) = 1 - P (\bar{A}) = 1 - \frac{1}{32} = \frac{31}{32}

Đáp án cần chọn là: A

Câu 16:

Gieo ngẫu nhiên bốn đồng xu cân đối và đồng chất. Xác suất để cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp là:

A. $\frac{4}{16}$

B. $\frac{2}{16}$

C. $\frac{1}{16}$

D. $\frac{6}{16}$

Xem đáp án

Gọi A là biến cố: “Cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp”.
Ta có:

n (Ω) = 2^{4} = 16, n (Ω_{A}) = 1

\Rightarrow P (A) = \frac{n (Ω_{A})}{n (Ω)} = \frac{1}{16}

Đáp án cần chọn là: C

Câu 17:

Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 nam và 3 nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng:

A. $\frac{2}{5}$

B. $\frac{1}{20}$

C. $\frac{3}{5}$

D. $\frac{1}{10}$

Xem đáp án

Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 6!.
Gọi biến cố A : "Các bạn học sinh nam ngồi đối diện các bạn nữ".
Chọn chỗ cho học sinh nam thứ nhất có 6 cách.
Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 2 có 4 cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất)
Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 3 có 2 cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất, thứ hai).
Xếp chỗ cho 3 học sinh nữ : 3! cách.
⇒ nA = 6.4.2.3! = 288 cách.

\Rightarrow P (A) = \frac{288}{6!} = \frac{2}{5}

Đáp án cần chọn là: A

Câu 18:

Một hộp đựng 20 viên bi khác nhau được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ba viên bi từ hộp trên rồi cộng số ghi trên đó lại. Hỏi có bao nhiêu cách để lấy kết quả thu được là một số chia hết cho 3?

A. 90.

B. 1200.

C. 384.

D. 1025.

Xem đáp án

Chia các số từ 1 đến 20 làm 3 nhóm:
X1:{1; 4; 7;...; 19}: chia cho 3 dư 1 (có 7 phần tử)
X2:{2; 5; 8;...; 20}: chia cho 3 dư 2 (có 7 phần tử)
X3:{3; 6; 9;...; 18}: chia hết cho 3 (có 6 phần tử)
Để kết quả thu được là một số chia hết cho 3 thì số ghi trên viên bi có các trường hợp sau:
+) Cả 3 viên thuộc X1, có: cách
+) Cả 3 viên thuộc X2, có: cách
+) Cả 3 viên thuộc X3, có: cách
+) 1 viên thuộc X1, 1 viên thuộc X2, 1 viên thuộc X3, có: 7.7.6 cách
⇒Số cách thỏa mãn là:

C_{7}^{3} + C_{7}^{3} + C_{6}^{3} + 7.7.6 = 384

Đáp án cần chọn là: C

Câu 19:

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên trong các số tự nhiên có bốn chữ số. Tính xác xuất để số được chọn có ít nhất hai chữ số 8 đứng liền nhau.

A. 0,029

B. 0,019

C. 0,021

D. 0,017

Xem đáp án

* Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là

\bar{a b c d} (a \neq 0; 0 \leq a, b, c, d \leq 9; a, b, c, d \in N)

+ a có 9 cách chọn
+ b, c, d có 10 cách chọn
Không gian mẫu có số phần tử là n(Ω) = 9.103
* Gọi A là biến cố số được chọn có ít nhất hai chữ số 8 đứng liền nhau
TH1 : Có hai chữ số 8 đứng liền nhau. Ta chọn 2 chữ số còn lại trong

\bar{a b c d}

+ 2 chữ số 8 đứng đầu thì có 9.10 = 90 cách chọn 2 chữ số còn lại
+ 2 chữ số 8 đứng ở giữa thì có 8 cách chọn chữ số hàng nghìn và 9 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có :
8.9 = 72 cách chọn.
+ 2 chữ số 8 đứng ở cuối thì có 9 cách chọn chữ số hàng nghìn và 9 cách chọn chữ số hàng trăm nên có 9.9 cách chọn.
Vậy trường hợp này có 90 + 72 + 81 = 243 số.
TH2 : Có ba chữ số 8 đứng liền nhau.
+ 3 chữ số 8 đứng đầu thì có 9 cách chọn chữ số hàng đơn vị
+ 3 chữ số 8 đứng cuối thì có 8 cách chọn chữ số hàng nghìn
Vậy trường hợp này có 9 + 8 = 17 số
TH3 : Có 4 chữ số 8 đứng liền nhau thì có 1 số
Số phần tử của biến cố A là n(A) = 243 + 17 + 1 = 261
Xác suất cần tìm là:

P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{261}{{9.10}^{3}} = 0, 029

Đáp án cần chọn là: A

Câu 20:

Gọi S là tập các số tự nhiên gồm 9 chữ số được lập từ tập X = {6; 7; 8}, trong đó chữ số 6 xuất hiện 2 lần, chữ số 7 xuất hiện 3 lần, chữ số 8 xuất hiện 4 lần. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S; tính xác suất để số được chọn là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6.

A. $\frac{2}{5}$

B. $\frac{11}{12}$

C. $\frac{4}{5}$

D. $\frac{55}{432}$

Xem đáp án

+ Số cách sắp xếp 2 chữ số 6 vào 9 vị trí là

C_{9}^{2}

+ Số cách sắp xếp 3 chữ số 7 vào 7 vị trí còn lại là

C_{7}^{3}

+ Số cách sắp xếp 4 chữ số 8 vào 4 vị trí còn lại là

C_{4}^{4}

Số phần tử của tập S là

n (Ω) = C_{9}^{2} . C_{7}^{3} . C_{4}^{4} = 1260

Gọi A là biến cố “Số được chọn ra từ tập S là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6”
TH1: Ta xét 2 chữ số 6 thành 1 cặp, ta sẽ sắp xếp cặp này với các chữ số còn lại
Số cách sắp xếp là

C_{8}^{1} . C_{7}^{3} . C_{4}^{4} = 280

cách

TH2: Ta xếp chữ số 8 đứng giữa hai chứ số 6.
Cách 1: Có 1 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 686 là 1 cụm thì có 7 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có

C_{3}^{6}

cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và

C_{3}^{3}

cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có

7. C_{3}^{6} . C_{3}^{3} = 140

số

Cách 2: Có 2 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 6886 là 1 cụm thì có 6 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có

C_{5}^{2}

cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và

C_{3}^{3}

cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có

6. C_{5}^{2} . C_{3}^{3} = 60

số

Cách 3: Có 3 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 68886 là 1 cụm thì có 5 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có

C_{4}^{1}

cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và

C_{3}^{3}

cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có

5 C_{4}^{1} . C_{3}^{3} = 20

số

Cách 4: Có 4 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 688886 là 1 cụm thì có 4 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có

C_{3}^{3}

cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có

4 C_{3}^{3} = 4

số

Vậy biến cố A có 280 + 140 + 60 + 20 + 4 = 504 phần tử
Xác suất cần tìm là

P (A) = \frac{504}{1260} = \frac{2}{5}

Đáp án cần chọn là: A

Câu 21:

Hai bạn Công và Thành cùng viết ngẫu nhiên ra một số tự nhiên gồm 2 chữ số phân biệt. Xác suất để hai số được viết ra có ít nhất một chữ số chung bằng:

A. $\frac{145}{729}$

B. $\frac{448}{729}$

C. $\frac{281}{729}$

D. $\frac{154}{729}$

Xem đáp án

Số các số tự nhiên có 2 chữ số phân biệt là

9.9 = 81 \Rightarrow n (Ω) = 81^{2}

Gọi A là biến cố: “ Hai số được viết ra có ít nhất một chữ số chung”
TH1: Hai bạn cùng viết hai số giống nhau ⇒ Có 81 cách.
TH2: Bạn Công viết số có dạng

\bar{a b}

và bạn Thành viết số có dạng

\bar{b a}

\Rightarrow a \neq b \neq 0

⇒ Có 9.8 = 72 cách.
TH3: Hai bạn chọn số chỉ có 1 chữ số trùng nhau.
+) Trùng số 0: Số cần viết có dạng

\bar{a 0}

, Công có 9 cách viết, Thành có 8 cách viết (Khác số Công viết)

⇒ Có 9.8 = 72 cách.
+) Trùng số 1: Số cần viết có dạng

\bar{a 1} (a \neq 0, a \neq 1)

,hoặc

\bar{1 b} (b \neq 1)

Nếu Công viết số 10 , khi đó Thành có 8 cách viết số có dạng

\bar{a 1} (a \neq 0, a \neq 1)

và 8 cách viết số có dạng

\bar{1 b} (b \neq 1)

⇒ Có 16 cách.
Nếu Công viết số có dạng

\bar{1 b} (b \neq 0, b \neq 1)

⇒ Công có 8 cách viết, khi đó Thành có 7 cách viết số có dạng

\bar{a 1} (a \neq 0, a \neq 1)

và 8 cách viết số có dạng

\bar{1 b} (b \neq 1)

⇒ Có 8(7 + 8) = 120 cách.
Nếu Công viết có dạng

\bar{a 1} (a \neq 0, a \neq 1)

⇒ Công có 8 cách viết, khi đó Thành có 7 cách viết số có dạng

\bar{a 1} (a \neq 0, a \neq 1)

và 8 cách viết số có dạng

\bar{1 b} (b \neq 1)

⇒ Có 8(7+8) = 120 cách.
⇒ Có 256 cách viết trùng số 1.
Tương tự cho các trường hợp trùng số 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
⇒ n(A) = 81 + 72 + 72 + 256.9 = 2529.
Vậy

P (A) = \frac{2529}{81^{2}} = \frac{281}{729}

Đáp án cần chọn là: C

Câu 22:

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập hợp {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S, xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng

A. $\frac{9}{35}$

B. $\frac{16}{35}$

C. $\frac{22}{35}$

D. $\frac{19}{35}$

Xem đáp án

Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là

A_{7}^{4} = 840 \Rightarrow n (S) = 840

Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S”. Ta có:

n (Ω) = C_{840}^{1} = 840

Biến cố A:“số được chọn không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn”.
+ Trường hợp 1: Số được chọn có 4 chữ số đều là số lẻ, có 4! = 24cách chọn.
+ Trường hợp 2: Số được chọn có 1 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ
Có

C_{3}^{1}

cách chọn 1 chữ số chẵn và

C_{4}^{3}

cách chọn 3 chữ số lẻ. Đồng thời có 4! cách sắp xếp 4 số được chọn nên có

C_{3}^{1} . C_{4}^{3} .4! = 288

cách chọn thỏa mãn.

+ Trường hợp 3: Số được chọn có 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ.
* Chọn 2 số chẵn, 2 số lẻ trong tập hợp {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} có

C_{3}^{2} . C_{4}^{2}

cách

Với mỗi bộ 2 số chẵn và 2 số lẻ được chọn, để hai số chẵn không đứng cạnh nhau thì ta có các trường hợp CLCL, CLLC, LCLC. Với mỗi trường hợp trên ta có 2! cách sắp xếp 2 số lẻ và 2! cách sắp xếp các số chẵn nên có 3.2!.2! số thỏa mãn
* Suy ra trường hợp 3 có

C_{3}^{2} . C_{4}^{2} .12 = 216

cách chọn

Suy ra n(A) = 24 + 288 + 216 = 528
Vậy xác suất cần tìm

P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{528}{840} = \frac{22}{35}

Đáp án cần chọn là: C

Câu 23:

Một người chơi trò gieo súc sắc. Mỗi ván gieo đồng thời ba con súc sắc. Người chơi thắng cuộc nếu xuất hiện ít nhất 2 mặt sáu chấm. Tính xác suất để trong ba ván, người đó thắng ít nhất hai ván

A. $\frac{1}{1296}$

B. $\frac{308}{19683}$

C. $\frac{58}{19683}$

D. $\frac{53}{23328}$

Xem đáp án

- Tính xác suất để người đó gieo súc sắc thắng trong 1 ván (nghĩa là gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm).
Số phần tử của không gian mẫu n(Ω) = 6³ = 216
Gọi A là biến cố: “Gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm”
Số cách gieo được hai mặt 6 chấm là:

C_{3}^{2} .1.1.5 = 15

cách

Số cách gieo được ba mặt 6 chấm là: 1 cách
Số cách gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm là: n(A) = 15 + 1 = 16 cách
Xác suất để người đó gieo thắng 1 ván là:

P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{16}{216} = \frac{2}{27}

Do đó xác suất để thua 1 ván là

1 - P (A) = 1 - \frac{2}{27} = \frac{25}{27}

- Tính xác suất để người đó thắng ít nhất 2 ván.
TH1: Thắng 2 ván, thua 1 ván
Xác suất để người đó thắng 2 ván thua 1 ván là

C_{3}^{2} . \frac{2}{27} . \frac{2}{27} . \frac{25}{27} = \frac{100}{6561}

Xác suất để người đó thắng cả 3 ván là:

{(\frac{2}{27})}^{3} = \frac{8}{19683}

Theo quy tắc cộng xác suất ta có: Xác suất để người đó thắng ít nhất 2 ván là:

P = \frac{100}{6561} + \frac{8}{19683} = \frac{308}{19683}

Đáp án cần chọn là: B

Câu 24:

Có 6 học sinh gồm 2 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Tính xác suất để nhóm bất kì 3 học sinh liền kề nhau trong hàng luôn có mặt học sinh của ba lớp A, B, C

A. $\frac{1}{120}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{30}$

D. $\frac{1}{15}$

Xem đáp án

Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) = 6!
Bước 1: Xếp 3 học sinh đứng đầu hàng
+) Chọn 3 học sinh lớp A, B, C để đứng đầu hàng. Mỗi lớp 1 học sinh: Có

{(C_{2}^{1})}^{3}

cách chọn.

+) Với mỗi cách chọn trên ta sắp xếp thứ tự 3 học sinh này: Có 3! cách xếp.
Theo quy tắc nhân có 48 cách xếp 3 học sinh A,B,C đứng đầu hàng.
Bước 2: Với mỗi một cách xếp 3 học sinh ở 2 bước trên (Giả sử thứ tự khi xếp 3 học sinh ở bước 2 là ABC),
+) Ta chọn 1 học sinh trong 3 học sinh còn lại xếp vị trí thứ 4
=> Chỉ có thể là học sinh lớp A: ABCA
+) Ta chọn học sinh xếp vào vị trí thứ 5: Chỉ có thể là B
+) Ta chọn học sinh xếp vào vị trí thứ 6: Chỉ có thể là C
Số phần tử của A là:

n (A) = {(C_{2}^{1})}^{3} .3! = 48

\Rightarrow P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{48}{6!} = \frac{1}{15}

Đáp án cần chọn là: D

Câu 25:

Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5,6. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số đã cho. Lấy ngẫu nhiên 2 số từ S, gọi A là biến cố: “tổng hai số lấy được là một số chẵn”. Xác suất của biến cố A là:

A. $P (A) = \frac{C_{480}^{2} + C_{240}^{2}}{C_{720}^{2}}$

B. $P (A) = \frac{C_{400}^{2} + C_{320}^{2}}{C_{720}^{2}}$

C. $P (A) = \frac{C_{300}^{2} + C_{420}^{2}}{C_{720}^{2}}$

D. $P (A) = 1 - \frac{C_{300}^{2} + C_{420}^{2}}{C_{720}^{2}}$

Xem đáp án

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là

\bar{a b c d} (a \neq 0, a \neq b \neq c \neq d)

- Số cách chọn a: 6 cách.
- Số cách chọn b, c, d:

A_{6}^{3}

cách

⇒ Có

6. A_{6}^{3} = 720

số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

⇒ Tập hợp S có 720 phần tử.
Chọn ngẫu nhiên 2 số từ S ⇒ Không gian mẫu:

n (Ω) = C_{720}^{2}

Trong các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có 4 số chẵn và 3 số lẻ.
a. Tính số các số chẵn được lập từ 7 chữ số trên:
Nếu số đó có dạng

\bar{a b c 0} \Rightarrow

A_{6}^{3} = 120

số thỏa mãn.

Nếu số đó dạng

\bar{a b c d}; d \in \{2; 4; 6\} \Rightarrow

có

3.5. A_{5}^{2} = 300

số thỏa mãn.

Vậy có 420 số chẵn được tạo từ các số đã cho.
b. Tính số các số lẻ được lập từ 7 chữ số trên:
Số các số lẻ = 720 – 420 = 300 số.
Gọi A là biến cố: “tổng hai số lấy được là một số chẵn”
⇒ Cả hai số lấy được hoặc cùng chẵn, hoặc cùng lẻ.
- Lấy hai số chẵn từ tập S có

C_{420}^{2}

cách

- Lấy hai số lẻ từ tập S có

C_{300}^{2}

cách

\Rightarrow n (A) = C_{420}^{2} + C_{300}^{2}

Vậy xác suất của biến cố A là:

P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{C_{300}^{2} + C_{420}^{2}}{C_{720}^{2}}

Đáp án cần chọn là: C

Câu 26:

Xếp 1 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B, 5 học sinh lớp C thành một hàng ngang. Tính xác suất sao cho học sinh lớp A chỉ đứng cạnh học sinh lớp B.

A. $\frac{2}{5}$

B. $\frac{9}{28}$

C. $\frac{1}{5}$

D. $\frac{3}{28}$

Xem đáp án

Số cách sắp xếp 8 bạn học sinh thành một hàng ngang là: 8! cách.
Gọi biến cố A: “Học sinh lớp A chỉ đứng cạnh học sinh lớp B”.
TH1: Học sinh A đứng ở đầu hàng và đứng cạnh 1 bạn lớp B
⇒ Có:

C_{2}^{1} .6!

cách xếp

TH2: Học sinh A đứng ở cuối hàng và đứng cạnh 1 bạn lớp B
⇒ Có:

C_{2}^{1} .6!

cách xếp

TH3: Học sinh A đứng giữa hai bạn học sinh lớp B
⇒ Có: 2!.6! cách xếp.

\Rightarrow n_{A} = 2 C_{2}^{1} .6! + 2! .6! = 4320

\Rightarrow P (A) = \frac{n_{A}}{n_{Ω}} = \frac{4320}{8!} = \frac{3}{28}

Đáp án cần chọn là: D

Câu 27:

Có 60 quả cầu được đánh số từ 1 đến 60. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả cầu rồi nhân các số trên hai quả cầu với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là số chia hết cho 10.

A. $\frac{209}{590}$

B. $\frac{161}{590}$

C. $\frac{53}{590}$

D. $\frac{78}{295}$

Xem đáp án

Số cách lấy ngẫu nhiên hai quả cầu trong số 60 quả cầu đã cho là:

C_{60}^{2}

cách lấy.

Gọi biến cố A: “Lấy được hai quả cầu mà tích hai số trên hai quả cầu chia hết cho 10”.
TH1: Hai quả cầu lấy được có đúng một quả mang số chia hết cho 10
⇒ Có

C_{6}^{1} . C_{54}^{1}

cách lấy.

TH2: Hai quả cầu lấy dược đều là số chia hết cho 10
⇒ Có

C_{6}^{2}

cách lấy.

TH3: Hai quả cầu lấy được có 1 quả cầu là số chia hết cho 2 (nhưng không chia hết cho 5) và 1 quả cầu mang số chia hết cho 5 (nhưng không chia hết cho 2)
⇒ Có (30 − 6)(12 − 6) = 24.6 = 144 cách lấy.

\Rightarrow n_{A} = C_{6}^{1} . C_{54}^{1} + C_{6}^{2} + 144 = 483

cách lấy

\Rightarrow P (A) = \frac{483}{C_{60}^{2}} = \frac{161}{590}

Đáp án cần chọn là: B

Câu 28:

Có 8 quyển sách Địa lí, 12 quyển sách Lịch sử, 10 quyển sách Giáo dục công dân (các quyển sách cùng một môn thì giống nhau) được chia thành 15 phần quà, mỗi phần gồm 2 quyển khác loại. Lấy ngẫu nhiên 2 phần quà từ 15 phần quà. Xác suất để hai phần quà lấy được khác nhau là:

A. $\frac{71}{105}$

B. $\frac{59}{190}$

C. $\frac{131}{190}$

D. $\frac{7}{45}$

Xem đáp án

Gọi số phần quà Sử - Địa là x, số phần quà Sử - GDCD là y và số phần quà Địa – GDCD là z
Tổng số phần quà là 15 nên x + y + z = 15.
Phần quà có môn sử chỉ có 2 kiểu: Sử- Địa (x phần quà) và Sử - GDCD(y phần quà).
Do có 12 quyển sách sử nên 12 quyển này nằm hoàn toàn trong 2 kiểu phần quà trên.
Do đó, x + y = 12.
Tương tự với Địa: x + z = 8.
GDCD: y + z = 10

\{\begin{matrix} x + y + z = 15 \\ x + y = 12 \\ y + z = 10 \\ x + z = 8 \end{matrix}

\Rightarrow \{\begin{matrix} x = 5 \\ y = 7 \\ z = 3 \end{matrix}

Suy ra số phần qùa Sử - Địa là 5.
Số phần quà Sử - GDCD là 7.
Số phần quà Địa – GDCD là 3.
Chọn 2 trong 15 phần quà
⇒ Không gian mẫu

n (Ω) = C_{15}^{2} = 105

Gọi A là biến cố: “hai phần quà lấy được khác nhau”, khi đó ta có:

n (A) = C_{5}^{1} . C_{7}^{1} + C_{7}^{1} . C_{3}^{1} + C_{3}^{1} . C_{5}^{1} = 71

Vậy:

P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{71}{105}

Đáp án cần chọn là: A

Câu 29:

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt. Chọn ngẫu nhiên 1 số từ S. Xác suất chọn được số lớn hơn 2500 là

A. $P = \frac{13}{68}$

B. $P = \frac{55}{68}$

C. $P = \frac{68}{81}$

D. $P = \frac{13}{81}$

Xem đáp án

Bước 1:
Gọi số có số tự nhiên có bốn chữ số phân biệt là ,
Bước 2:
+ a có 9 cách chọn, b có 9 cách chọn, c có 8 cách chọn, d có 7 cách chọn
Nên có 9.9.8.7 = 4536 số. Hay số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 4536
Bước 3:
Gọi A là biến cố
Bước 4:
+ Nếu aϵ{3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} thì số cách chọn 3 chữ số b, c, d là $A_{9}^{3}$ nên có $7. A_{9}^{3}$ số
+ Nếu a = 2 và b = 5 thì c, d ϵ {0; 1; 3; 4; 6; 7; 8; 9} nên có $A_{8}^{2}$ số

+ Nếu a = 2; b ϵ {6; 7; 8; 9} thì có

A_{8}^{2}

cách chọn c, d nên có

4. A_{8}^{2}

số

Số phần tử của biến cố A là:

n (A) = 7. A_{9}^{3} + A_{8}^{2} + 4. A_{8}^{2} = 3808

Bước 5:
Xác suất cần tìm là:

P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{3808}{4536} = \frac{68}{81}

Đáp án cần chọn là: C

Câu 30:

Tổ 1 lớp 11A có 6 nam 7 nữ, tổ 2 có 5 nam, 8 nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ một học sinh. Xác suất để 2 học sinh được chọn đều là nữ là :

A. $\frac{28}{39}$

B. $\frac{15}{169}$

C. $\frac{56}{169}$

D. $\frac{30}{169}$

Xem đáp án

Bước 1:
Gọi A là biến cố “2 học sinh được chọn đều là nữ ”.
Bước 2:
Số cách chọn 2 bạn ( mỗi tổ 1 bạn) là 13.13 = 169.
Bước 3:
Số cách chọn nữ của tổ 1 là 7
Số cách chọn nữ của tổ 2 là 8
Do đó có 7.8 = 56 cách chọn 2 học sinh từ mỗi tổ đều là nữ.
Bước 4:
Vậy xác suất là

P = \frac{56}{169}

Đáp án cần chọn là: C

Câu 31:

Trường trung học phổ thông A có 23 lớp, trong đó khối 10 có 8 lớp, khối 11 có 8 lớp và khối 12 có 7 lớp, mỗi lớp có một chi đoàn, mỗi chi đoàn có một em làm bí thư. Các em bí thư đều giỏi và rất năng động nên Ban chấp hành Đoàn trường chọn ngẫu nhiên 9 em bí thư đi thi cán bộ đoàn giỏi cấp tỉnh. Tính xác suất để 9 em được chọn có đủ 3 khối.

A. $\frac{7234}{7429}$

B. $\frac{7012}{7429}$

C. $\frac{7123}{7429}$

D. $\frac{7345}{7429}$

Xem đáp án

Khối 10 có 8 em bí thư; khối 11 có 8 em bí thư; khối 12 có 7 em bí thư
Cả trường có 23 em bí thư.
Số cách chọn 9 em bí thư trong cả trường là

C_{23}^{9} \Rightarrow n (Ω) = C_{23}^{9}

Gọi A là biến cố: “9 em bí thư được chọn có đủ 3 khối”

\Rightarrow \bar{A} :

: “9 em bí thư được chọn không đủ 3 khối”.
Vì mỗi khối có ít hơn 9 em bí thư, nên để 9 em bí thư được chọn không đủ 3 khối thì 9 em bí thư được chọn từ 2 khối.
Số cách chọn 9 em bí thư từ khối 10 và 11 là

C_{16}^{9}

cách.

Số cách chọn 9 em bí thư từ khối 11 và 12 là

C_{15}^{9}

cách.

Số cách chọn 9 em bí thư từ khối 10 và 12 là

C_{15}^{9}

cách.

\Rightarrow n (\bar{A}) = C_{16}^{9} + C_{15}^{9} + C_{15}^{9}

Vậy xác suất cần tính là:

P (A) = 1 - \frac{n (\bar{A})}{n (Ω)} = 1 - \frac{C_{16}^{9} + C_{15}^{9} + C_{15}^{9}}{C_{23}^{9}} = \frac{7234}{7429}

Đáp án cần chọn là: A

Câu 32:

Một hộp đựng 8 quả cầu xanh, 12 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp, sau đó lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong các quả cầu còn lại. Xác suất để lấy được 2 quả cầu cùng màu là:

A. 50,53%

B. 49,47%

C. 85,26%

D. 14,74%

Xem đáp án

Lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp, sau đó lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong các quả cầu còn lại thì số phần tử không gian mẫu là: n(Ω) = 20.19 = 380.
Gọi A là biến cố: “Lấy được 2 quả cầu cùng màu”.
TH1: Lấy được 2 quả cầu cùng màu xanh, có 8.7 = 56 cách.
TH2: Lấy được 2 quả cầu cùng màu đỏ, có 12.11 = 132 cách.
⇒ n(A) = 56 + 132 = 188
Vậy xác suất của biến cố A là:

P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{188}{380} = \frac{47}{95} \approx 49, 47 %

Đáp án cần chọn là: B

Câu 33:

Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen, lấy ra ngẫu nhiên cùng một lúc 4 quả. Xác suất để lấy ra được ít nhất một quả màu đen là:

A. $\frac{3}{28}$

B. $\frac{13}{14}$

C. $\frac{1}{14}$

D. $\frac{8}{105}$

Xem đáp án

Không gian mẫu Ω là tổ hợp chập 4 của 10 phần tử, ta có:

|Ω| = C_{10}^{4} = 210

Gọi BB là biến cố chọn được 44 quả màu trắng.
Ta có:

|B| = C_{6}^{4} = 15

Suy ra

P (B) = \frac{|B|}{|Ω|} = \frac{15}{210} = \frac{1}{14}

Ta có

\bar{B}

là biến cố chọn được ít nhất một quả màu đen nên:

P (\bar{B}) = 1 - P (B) = 1 - \frac{1}{14} = \frac{13}{14}

Đáp án cần chọn là: B

Câu 34:

Có hai hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một viên bi, tính xác suất để 2 viên lấy ra cùng màu.

A. $\frac{10}{21}$

B. $\frac{4}{21}$

C. $\frac{2}{7}$

D. $\frac{11}{21}$

Xem đáp án

Số phần tử của không gian mẫu Ω là:

|Ω| = C_{7}^{1} . C_{6}^{1} = 42

Gọi A là biến cố “lấy được hai viên bi cùng màu”.
Trường hợp 1: Lấy được hai viên bi màu đỏ, ta có

C_{4}^{1} . C_{2}^{1} = 8

Trường hợp 2: Lấy được hai viên bi màu trắng, ta có

C_{3}^{1} . C_{4}^{1} = 12

Ta có: |A| = 8 + 12 = 20
Suy ra

P (A) = \frac{|A|}{|Ω|} = \frac{20}{42} = \frac{10}{21}

Đáp án cần chọn là: A

Câu 35:

Một hộp đựng 8 bi đỏ và 4 bi xanh. Từ hộp trên lấy lần lượt ngẫu nhiên không hoàn lại từng viên bi đến viên bi thứ ba thì dừng. Xác suất để lấy được hai bi đỏ và một bi xanh là:

A. $\frac{28}{55}$

B. $\frac{56}{165}$

C. $\frac{28}{165}$

D. $\frac{14}{55}$

Xem đáp án

Số phần tử của không gian mẫu Ω là |Ω| = 12.11.10 = 1320
Gọi A là biến cố “lấy được hai bi đỏ và một bi xanh”.
TH1: Thứ tự bi lấy ra là Đ-Đ-X có 8.7.4 = 224 cách.
TH2: Thứ tự bi lấy ra là Đ-X-Đ có 8.4.7 = 224 cách.
TH3: Thứ tự bi lấy ra là X-Đ-Đ có 8.4.7 = 224 cách.
Do đó |A| = 3.8.7.4 = 672 cách.

Suy ra:

P (A) = \frac{|A|}{|Ω|} = \frac{672}{1320} = \frac{28}{55}

Đáp án cần chọn là: A

Câu 36:

Mỗi đề thi có 5 câu được chọn ra từ 100 câu có sẵn. 1 học sinh học thuộc 80 câu. Tính xác suất để học sinh rút ngẫu nhiên ra 1 đề thi có 4 câu đã học thuộc.

A. 0,08192

B. 0,82

C. 0,42

D. 0,5252

Xem đáp án

Số phần tử của không gian mẫu Ω là

|Ω| = C_{100}^{5}

Gọi A là biến cố “rút ngẫu nhiên ra 1 đề thi có 4 câu đã học thuộc”. Ta có:

|A| = C_{80}^{4} . C_{20}^{1}

Suy ra

P (A) = \frac{|A|}{|Ω|} = \frac{C_{80}^{4} . C_{20}^{1}}{C_{100}^{5}} = \frac{1581580.20}{75287520} = 0, 42

Đáp án cần chọn là: C

Câu 37:

Xác suất bắn trúng đích của một người bắn súng là 0,6. Xác suất để trong ba lần bắn độc lập người đó bắn trúng đích đúng một lần.

A. 0,4

B. 0,6

C. 0,096

D. 0,288

Xem đáp án

Gọi A là biến cố “người bắn súng bắn trúng đích”. Ta có P(A) = 0,6
Suy ra $\bar{A}$ là biến cố “người bắn súng không bắn trúng đích”. Ta có $P (\bar{A}) = 0, 4$

Xét phép thử “bắn ba lần độc lập” với biến cố “người đó bắn trúng đích đúng một lần”, ta có các biến cố xung khắc sau:
• B: “Bắn trúng đích lần đầu và trượt ở hai lần bắn sau”. Ta có:
P(B) = 0,6.0,4.0,4 = 0,096
• C: “Bắn trúng đích ở lần bắn thứ hai và trượt ở lần đầu và lần thứ ba”. Ta có
P(C) = 0,4.0,6.0,4 = 0,096
• D: “Bắn trúng đích ở lần bắn thứ ba và trượt ở hai lần đầu”. Ta có:
P(D) = 0,4.0,4.0,6 = 0,096
Xác suất để người đó bắn trúng đích đúng một lần là:
P = P(A) + P(B) + P(C) = 0,096 + 0,096 + 0,096 = 0,288
Đáp án cần chọn là: D

Câu 38:

Một chiếc tàu khoan thăm dò dầu khí trên thềm lục địa có xác suất khoan trúng túi dầu là 0,4. Xác suất để trong 5 lần khoan độc lập, chiếc tàu đó khoan trúng túi dầu ít nhất một lần.

A. 0,07776

B. 0,84222

C. 0,15778

D. 0,92224

Xem đáp án

Gọi A là biến cố “chiếc tàu khoan trúng túi dầu”. Ta có P(A) = 0,4
Suy ra $\bar{A}$ là biến cố “chiếc tàu khoan không trúng túi dầu”. Ta có $P (\bar{A}) = 0, 6$

Xét phép thử “tàu khoan 5 lần độc lập” với biến cố
B:“chiếc tàu không khoan trúng túi dầu lần nào”, ta có:

P(B) = 0,6⁵ = 0,07776

Khi đó ta có

\bar{B}

“chiếc tàu khoan trúng túi dầu ít nhất một lần”. Ta có:

P (\bar{B}) = 1 - P (B) = 1 - 0, 07776 = 0, 92224

Đáp án cần chọn là: D

Câu 39:

Hai cầu thủ bóng đá sút phạt đền, mỗi người được sút một quả với xác suất bàn tương ứng là 0,8 và 0,7. Tính xác suất để chỉ có 1 cầu thủ làm bàn.

A. 0,14

B. 0,38

C. 0,24

D. 0,62

Xem đáp án

Gọi A là biến cố cầu thủ thứ nhất ghi được bàn thắng.
Ta có P(A) = 0,8 và

P (\bar{A}) = 0, 2

Gọi B là biến cố cầu thủ thứ nhất ghi được bàn thắng.
Ta có P(B) = 0,7 và

P (\bar{B}) = 0, 3

Ta xét hai biến cố xung khắc sau:

\bar{A B}

“Chỉ có cầu thủ thứ nhất làm bàn”.

Ta có:

P (\bar{A B}) = P (A) . P (\bar{B}) = 0, 8.0, 3 = 0, 24

B \bar{A}

“ Chỉ có cầu thủ thứ hai làm bàn” .

Ta có:

P (B \bar{A}) = P (B) . P (\bar{A}) = 0, 7.0, 2 = 0, 14

Gọi C là biến cố chỉ có 1 cầu thủ làm bàn.
Ta có P(C) = 0,24 + 0,14 = 0,38
Đáp án cần chọn là: B

Câu 40:

Một ngân hàng đề thi có 20 hạng mục, mỗi hạng mục có 10 câu hỏi. Đề thi có 20 câu hỏi tương ứng 20 hạng mục sao cho mỗi hạng mục có đúng 1 câu hỏi. Máy tính chọn từ ngân hàng ngẫu nhiên 2 đề thi thỏa mãn tiêu chí trên. Tìm xác suất để 2 đề thi có ít nhất 3 câu hỏi trùng nhau. (Kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn.)

A. 0,167

B. 0,593

C. 0,190

D. 0,323

Xem đáp án

Giả sử đề 1 đã được máy tính chọn ra. Ta xét xác suất để đề 2 giống đề 1
Ở mỗi hạng mục, xác suất để câu hỏi của 2 đề giống nhau và khác nhau lần lượt là 0,1 và 0,9.
Xác suất của biến cố đối:
Xác suất để 2 đề không trùng nhau câu hỏi nào là 0,9²⁰
Xác suất để 2 đề trùng nhau đúng 1 câu hỏi là

C_{20}^{1} .0, 1.0, 9^{19}

Xác suất để 2 đề trùng nhau đúng 2 câu hỏi là

C_{20}^{2} .0, 1^{2} .0, 9^{18}

Xác suất để 2 đề trùng nhau từ 3 câu hỏi trở lên là :

1 - (0, 9^{20} + C_{20}^{1} .0, 1.0, 9^{19} + C_{20}^{2} .0, 1^{2} .0, 9^{18}) = 0, 323

Đáp án cần chọn là: D

Câu 41:

Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất 5 lần liên tiếp. Tính xác suất để tổng số chấm ở hai lần gieo đầu bằng số chấm ở lần gieo thứ ba.

A. $\frac{10}{216}$

B. $\frac{15}{216}$

C. $\frac{16}{216}$

D. $\frac{15}{6^{5}}$

Xem đáp án

Ta có:

n (Ω) = 6^{5}

Bộ kết quả của ba lần gieo đầu thỏa mãn yêu cầu là:
(1;1;2),(1;2;3),(1;3;4),(1;4;5),
(1;5;6),(2;1;3),(2;2;4),(2;3;5),
(2;4;6),(3;1;4),(3;2;5),(3;3;6),
(4;1;5),(4;2;6),(5;1;6)
Hai lần gieo sau mỗi lần gieo có 66 khả năng xảy ra nên n(A) = 15.6.6.
Vậy

P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{15.6.6}{6^{5}} = \frac{15}{216}

Đáp án cần chọn là: B

Câu 42:

Một con xúc sắc cân đối, đồng chất được gieo 6 lần. Xác suất để được một số lớn hơn hay bằng 5 xuất hiện ít nhất 5 lần là:

A. $\frac{31}{23328}$

B. $\frac{41}{23328}$

C. $\frac{51}{23328}$

D. $\frac{21}{23328}$

Xem đáp án

Ta có:

n (Ω) = 6^{6}

TH1: Số bằng 5 xuất hiện đúng 5 lần ⇒ có 5.6 = 30 khả năng xảy ra.
TH2: Số bằng 5 xuất hiện đúng 6 lần ⇒ có 1 khả năng xảy ra.
TH3: Số bằng 6 xuất hiện đúng 5 lần ⇒ có 5.6 = 30 khả năng xảy ra.
TH4: Số bằng 6 xuất hiện đúng 6 lần ⇒ có 1 khả năng xảy ra.
Vậy có 30 + 1 + 30 + 1 = 62 khả năng xảy ra biến cố A.
Vậy

P (A) = \frac{62}{6^{6}} = \frac{31}{23328}

Đáp án cần chọn là: A

Câu 43:

Có 5 nam, 5 nữ xếp thành một hàng dọc. Tính xác suất để nam, nữ đứng xen kẽ nhau.

A. $\frac{1}{125}$

B. $\frac{1}{126}$

C. $\frac{1}{36}$

D. $\frac{13}{36}$

Xem đáp án

Gọi A là biến cố: “nam, nữ đứng xen kẽ nhau.“
-Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) = 10!.
-Số cách xếp để nam đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là: 5!.5!
-Số cách xếp để nữ đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là: 5!.5!
=> n(A) = 5!.5! + 5!.5! = 28800.

\Rightarrow P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{28800}{10!} = \frac{1}{126}

Đáp án cần chọn là: B

Câu 44:

Cho một đa giác đều có 18 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm O. Gọi X là tập hợp các tam giác có các đỉnh là các đỉnh của đa giác đều trên. Tính xác suất P để chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân nhưng không phải tam giác đều.

A. $\frac{144}{136}$

B. $\frac{7}{816}$

C. $\frac{23}{136}$

D. $\frac{21}{136}$

Xem đáp án

+) Số phần tử của KGM:

n (Ω) = n (X) = C_{18}^{3}

Gọi A là biến cố: “chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân nhưng không phải tam giác đều”.
Chọn 1 đỉnh bất kì làm đỉnh của tam giác cân, ta lập được 8 tam giác cân + đều.
Có 18 đỉnh như vậy
⇒ Lập được 8.18 = 144 tam giác cân + đều.
Ta lại có số tam giác đều có đỉnh là các đỉnh của đa giác đều 18 đỉnh là 6.
⇒ n(A) = 144 – 6 = 138
Vậy xác suất của biến cố A là:

P = P (A) = \frac{136}{C_{18}^{3}} = \frac{23}{136}

Đáp án cần chọn là: C

Câu 45:

Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Gọi S là tập hợp tất cả các tam giác có độ dài ba cạnh là các phần tử của A. Chọn ngẫu nhiên một phần tử thuộc S. Xác suất để phần tử được chọn là một tam giác cân bằng

A. $\frac{6}{34}$

B. $\frac{19}{34}$

C. $\frac{27}{34}$

D. $\frac{7}{34}$

Xem đáp án

Áp dụng BĐT tam giác: |a − b| < c < a + b (với a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác).
+ Tất cả các bộ ba khác nhau có giá trị bằng số đo 3 cạnh là:
(2; 3; 4), (2; 4; 5), (2; 5; 6), (3; 4; 5), (3; 4; 6), (3; 5; 6), (4; 5; 6).
⇒ Có 7 tam giác không cân.
+ Xét các tam giác cân có cạnh đáy bằng aa, cạnh bên bằng b ⇒ a < 2b.
TH1: b = 1 ⇒ a < 2 ⇒ a = 1: Có 1 tam giác cân.
TH2: b = 2 ⇒ a < 4 ⇒ a ∈ {1; 2; 3}: Có 3 tam giác cân.
TH3: b = 3 ⇒ a < 6 ⇒ a ∈ {1; 2; 3; 4; 5}: Có 5 tam giác cân.
TH4: b = 4 ⇒ a < 8 ⇒ a ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}: Có 6 tam giác cân.
TH5: b = 5 ⇒ a < 10 ⇒ a ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}: Có 6 tam giác cân.
TH6: b = 6 ⇒ a < 12 ⇒ a ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}: Có 6 tam giác cân.
⇒⇒ Có 1+3+5+6.3=271+3+5+6.3=27 tam giác cân.
⇒ Không gian mẫu: n(Ω) = 7 + 27 = 34.
Gọi A là biến cố: “phần tử được chọn là một tam giác cân”

\Rightarrow n (A) = C_{27}^{1} = 27

Vậy xác suất của biến cố A là:

P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{27}{34}

Đáp án cần chọn là: C

Câu 46:

Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A. Xác suất để số tự nhiên được chọn chia hết cho 25 bằng:

A. $\frac{43}{324}$

B. $\frac{1}{27}$

C. $\frac{11}{324}$

D. $\frac{17}{81}$

Xem đáp án

Gọi số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau là

X = \bar{a_{1} a_{2} ... a_{8}} (a_{1} \neq 0)

Số cách chọn a₁: 9 cách.
Số cách chọn 7 chữ số còn lại:

A_{9}^{7}

cách

⇒ Tập hợp A có

9 . A_{9}^{7}

số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau.

Chọn ngẫu nhiên 1 số thuộc A
⇒ Không gian mẫu

A_{9}^{7}

Gọi M là biến cố: “số tự nhiên được chọn chia hết cho 25”.
Ta có:

X = \bar{a_{1} a_{2} ... a_{8}} = a_{1} {.10}^{7} + a_{2} {.10}^{6} + a_{3} {.10}^{5} + a_{4} {.10}^{4} + a_{5} {.10}^{3} + a_{6} {.10}^{2} + a_{7} .10 + a_{8}

Vì

10^{k} ⋮ 25, \forall k = \bar{2; 8}, k \in N

nên

X ⋮ 25 \Leftrightarrow 10. a_{7} + a_{8} ⋮ 25

Do

a_{7}, a_{8} \in N, 0 \leq a_{7}, a_{8} \leq 9, a_{7} \neq a_{8}

nên:

0 < 10 a_{7} + a_{8} \leq 99

\Rightarrow 10 a_{7} + a_{8} \in \{25; 50; 75\}

Lại có số chia hết cho 25 là số có tận cùng là 0 hoặc 5 nên

a_{8} \in \{0; 5\}

TH1:

10 a_{7} + a_{8} = 25

\Rightarrow [\begin{matrix} \{\begin{matrix} a_{8} = 0 \\ a_{7} = \frac{25}{10} \end{matrix} (K T M) \\ \{\begin{matrix} a_{8} = 5 \\ a_{7} = 2 \end{matrix} (T M) \end{matrix}

⇒ Có 1 cách chọn a₇, a₈.
Số cách chọn a₁: 7 cách (a₁ ≠ 0,a₂ ≠ a₇, a₈)
Số cách chọn 5 chữ số còn lại:

A_{7}^{5}

cách

⇒ Có

7 . A_{7}^{5}

số.

TH2:

10 a_{7} + a_{8} = 50

\Rightarrow [\begin{matrix} \{\begin{matrix} a_{8} = 0 \\ a_{7} = 5 \end{matrix} (T M) \\ \{\begin{matrix} a_{8} = 5 \\ a_{7} = \frac{45}{10} \end{matrix} (K T M) \end{matrix}

⇒ Có 1 cách chọn a₇, a₈.
Số cách chọn a₁: 8 cách (a₁≠a₇,a₈)
Số cách chọn 5 chữ số còn lại:

A_{7}^{5}

cách.
⇒ Có 8.

A_{7}^{5}

số

TH3:

10 a_{7} + a_{8} = 75

\Rightarrow [\begin{matrix} \{\begin{matrix} a_{8} = 0 \\ a_{7} = \frac{75}{10} \end{matrix} (K T M) \\ \{\begin{matrix} a_{8} = 5 \\ a_{7} = 7 \end{matrix} (T M) \end{matrix}

⇒ Có 1 cách chọn a₇, a₈.
Số cách chọn a₁: 7 cách ( a₁≠ 0, a₂≠a₇,a₈)
Số cách chọn 5 chữ số còn lại:

A_{7}^{5}

cách

⇒ Có 7.

A_{7}^{5}

số

\Rightarrow n (M) = 2.7. A_{7}^{5} + 8. A_{7}^{5} = 55440

Vậy xác suất của biến cố M là:

\Rightarrow P (M) = \frac{n (M)}{n (Ω)} = \frac{55440}{9. A_{9}^{7}} = \frac{11}{324}

Đáp án cần chọn là: C