Cho tam giác ABC vuông tại A. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Gọi H, J, K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ I đến AB, AC, BC. Biết KI = 5 cm, BK = 10 cm, KC = 15 cm. Diện tích tam giác ABC bằng:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là:
Xét DBHI và DBKI có:
\(\widehat {BHI} = \widehat {BKI} = 90^\circ \),
BI là cạnh chung;
\(\widehat {HBI} = \widehat {KBI}\) (do BI là tia phân giác của góc ABC),
Do đó DBHI = DBKI (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra BH = BK = 10 cm (hai cạnh tương ứng).
Chứng minh tương tự có DIJC = DIKC (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra JC = KC = 15 cm.
Vì các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I nên I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC.
Do đó AI là tia phân giác của góc A nên \(\widehat {HAI} = \widehat {JAI} = \frac{1}{2}.90^\circ = 45^\circ .\)
Tam giác AHI vuông tại H có \(\widehat {HAI} = 45^\circ \) nên là tam giác vuông cân tại H.
Do đó IH = AH.
Chứng minh tương tự ta cũng có tam giác AJI vuông cân tại J nên AJ = IJ.
Mà I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC nên I cách đều ba cạnh của tam giác, hay IH = IK = IJ = 5 cm.
Suy ra AH = AJ = IH = IK = IJ = 5 cm.
Ta có AB = AH + BH = 5 + 10 = 15 (cm);
AC = AJ + JC = 5 + 15 = 20 (cm).
Diện tích tam giác ABC là:
\(\frac{1}{2}\).15.20 = 150 (cm2).
Vậy ta chọn phương án C.
Cho tam giác IHK có hai tia phân giác của góc H và góc K cắt nhau tại O. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho tam giác MNP có ba đường phân giác MA, NB, PC cắt nhau tại I. Vẽ IH vuông góc NP tại H. Khẳng định nào dưới đây là đúng:
