Cho ∆ABC có AB < AC. Lấy E ∈ AC sao cho AE = AB. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = EC. Kẻ AH ⊥ BE tại H, AH cắt DC tại K. Chọn khẳng định đúng.
A. \[\widehat {ADC} = \widehat {ACD}\];
B. AK ⊥ DC;
C. AK là đường trung trực của đoạn thẳng DC;
D. Cả A, B, C đều đúng.
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D
Vì AB = AE (giả thiết).
Nên ∆ABE cân tại A.
Suy ra \[\widehat {ABE} = \widehat {AEB}\].
∆ABE có: \[\widehat {BAC} + \widehat {ABE} + \widehat {AEB} = 180^\circ \].
Suy ra \[2\widehat {ABE} = 180^\circ - \widehat {BAC}\] (1).
Vì ba điểm A, B, D thẳng hàng và B nằm giữa A, D nên AD = AB + BD.
Vì ba điểm A, E, C thẳng hàng và E nằm giữa A, C nên AC = AE + EC.
Mà AB = AE và BD = EC (giả thiết).
Do đó AD = AC.
Suy ra ∆ADC cân tại A.
Khi đó ta có \[\widehat {ADC} = \widehat {ACD}\].
Do đó đáp án A đúng.
∆ADC có: \[\widehat {BAC} + \widehat {ADC} + \widehat {ACD} = 180^\circ \].
Suy ra \[2\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {BAC}\] (2).
Từ (1), (2), ta suy ra \[\widehat {ADC} = \widehat {ABE}\].
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.
Do đó BE // DC.
Lại có AH ⊥ BE (giả thiết).
Suy ra AH ⊥ DC hay AK ⊥ DC (*).
Do đó đáp án B đúng.
Xét ∆ADK và ∆ACK, có:
AK là cạnh chung.
AD = AC (chứng minh trên).
\[\widehat {AKD} = \widehat {AKC} = 90^\circ \] (chứng minh trên).
Do đó ∆ADK = ∆ACK (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra DK = CK (cặp cạnh tương ứng).
Do đó K là trung điểm DC (**).
Từ (*), (**), ta suy ra AK là đường trung trực của đoạn thẳng DC.
Do đó đáp án C đúng.
Vậy ta chọn đáp án D.
Đường thẳng d trong hình vẽ nào sau đây là đường trung trực của đoạn thẳng MN?
Cho ∆ABC có AB < AC, đường phân giác AD. Trên cạnh AC, lấy điểm E sao cho AE = AB. Kết luận nào sau đây đúng nhất?
Cho ∆DEF cân tại D. Lấy điểm K nằm trong tam giác sao cho KE = KF. Kẻ KP vuông góc với DE (P ∈ DE), KQ vuông góc với DF (Q ∈ DF). Khẳng định nào sau đây sai?
Cho \[\widehat {xOy}\] khác góc bẹt. Trên tia phân giác Ot của \[\widehat {xOy}\], lấy điểm I (I ≠ O). Gọi A, B lần lượt là các điểm trên các tia Ox, Oy sao cho OA = OB (O ≠ A và O ≠ B). Kết luận nào sau đây đúng nhất?
Cho đoạn thẳng AB. Dựng các ∆PAB cân tại P, ∆QAB cân tại Q (P, Q nằm khác phía so với AB). Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?
Cho ∆ABC cân tại A. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MB = MC, N là trung điểm của BC. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
Cho ∆ABC cân tại A, đường phân giác trong của \[\widehat A\] cắt BC tại D. Khẳng định nào dưới đây sai?
Cho \[\widehat {xOy}\] (\[0^\circ < \widehat {xOy} < 90^\circ \]), Ot là tia phân giác của \[\widehat {xOy}\] và H là một điểm bất kỳ thuộc tia Ot. Qua H, lần lượt vẽ đường thẳng d và d’ thỏa mãn d vuông góc với Ox tại A, cắt Oy tại C và d’ vuông góc với Oy tại B, cắt Ox tại D. Khẳng định nào sau đây sai?
