Cho $F\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2$ là một nguyên hàm của hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right).{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}$. Khi đó $\int f\text{'}\left(x\right)e^{2x}dx$ bằng

Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x + 1) ln x là

Cho hàm số f(x) thỏa mãn $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}$ và f(0) = 2. Tất cả các nguyên hàm của $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}$ là

Biết rằng ${\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}$ là một nguyên hàm của f(-x) trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$. Gọi F(x) là một nguyên hàm của $\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$ thỏa mãn F(0)= 1, giá trị của F(-1) bằng

Cho hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^3+{\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\in \mathrm{ℝ})$ có đồ thị (C) và $\mathrm{y}={\mathrm{mx}}^2+\mathrm{nx}+\mathrm{p} (\mathrm{m},\mathrm{n},\mathrm{p}\in \mathrm{ℝ})$ có đồ thị (P) như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (P) có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R, đồ thị hàm y = f’(x) như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào trong các phương án A, B, C, D dưới đây là đúng?

Cho $\mathrm{I}={\int }_1^2\frac{\mathrm{x}+\ln \mathrm{x}}{{\left(\mathrm{x}+1\right)}^2}\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\ln 2-\frac{1}{\mathrm{c}}$ với a, b, c là các số nguyên dương và các phân số là phân số tối giản.

Tính giá trị của biểu thức $\mathrm{S}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\mathrm{c}}$.

 Cho hàm số có đồ thị . Gọi là tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ Biết cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là Cho biết Tích phân bằng:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [-3;3] và đồ thị y = f’(x) như hình vẽ. Đặt $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+{\mathrm{x}}^2+4$. Biết f(1)=-24. Hỏi g(x) = 0 có bao nhiêu nghiệm thực?

Cho hàm số và với có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là của hàm số . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và gần nhất với kết quả nào dưới đây?

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên [-2;1] Hình bên là đồ thị của hàm số y =  f’(x). Đặt$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}$

Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Hàm số y= f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Số nghiệm thuộc đoạn [-2;6] của phương trình f(x) = f(0) là

Người ta dự định trồng hoa Lan Ý để trang trí vào phần tô đậm (như hình vẽ). Biết rằng phần tô đậm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $\mathrm{y}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{ax}}^3+{\mathrm{bx}}^2+\mathrm{cx}-\frac{1}{2}$và$\mathrm{y}=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{dx}}^2+\mathrm{ex}+1$ trong đó $\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c},\mathrm{d},\mathrm{e}\in \mathrm{ℝ}$Biết rằng hai đồ thị đó cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng -3; -1; 2 chi phí trồng hoa là 800000 đồng/1m2 và đơn vị trên các trục được tính là 1 mét. Số tiền trồng hoa gần nhất với số nào sau đây? (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng).

Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x ( 2 + ln x) là

Tìm số thực a để hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{ax}+3{\mathrm{a}}^2}{1+{\mathrm{a}}^6}$ và $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{a}}^2-\mathrm{ax}}{1+{\mathrm{a}}^2}$ có diện tích lớn nhất.

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $\mathrm{y}={\left(\mathrm{x}-3\right)}^2$, trục hoành và trục tung. Gọi ${\mathrm{k}}_1,{\mathrm{k}}_2 ({\mathrm{k}}_1>{\mathrm{k}}_2)$lần lượt là hệ số góc của các đường thẳng đi qua điểm A(0;9) và chia (H) thành ba phần có diện tích bằng nhau (tham khảo hình vẽ bên).

Giá trị của ${\mathrm{k}}_1-{\mathrm{k}}_2$ bằng