Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng 3/4 chiều cao của bên đó (xem hình).

Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi $12,72{\mathrm{cm}}^3$/phút. Khi chiều cao của cát còn 4 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi $8\mathrm{\pi } \mathrm{cm}$(xem hình). Biết sau 10 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm?

Cho đồ thị $\left(\mathrm{C}\right): \mathrm{y}={\mathrm{ax}}^3+{\mathrm{bx}}^2+\mathrm{cx}+\mathrm{d}$ và Parabol $\left(\mathrm{P}\right): \mathrm{y}={\mathrm{mx}}^2+\mathrm{nx}+\mathrm{p}$ có đồ thị như hình vẽ (đồ thị (C) là đường cong đậm hơn). Biết phần hình phẳng được giới hạn bởi (C) và (P) (phần tô đậm) có diện tích bằng 1. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay phần hình phẳng đó quanh trục hoành bằng

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp n trên R thỏa mãn $\mathrm{f}\left(1-\mathrm{x}\right)+{\mathrm{x}}^2\mathrm{f}\text{'}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{x}$ với mọi $\mathrm{x}\in \mathrm{R}$. Tính tích phân $\mathrm{I}={\int }_0^1\mathrm{xf}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$.

Gọi D là miền được giới hạn bởi các đường $\mathrm{y}=-3\mathrm{x}+10$, y =1, $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2$ và D nằm ngoài parabol $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2$. Khi cho D quay xung quanh trục Ox, ta nhận được vật thể tròn xoay có thể tích là:

Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}}, \mathrm{y}=0$ và $\mathrm{x}=4$ quanh trục Ox. Đường thẳng x = a (0< a< 4 cắt đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}}$ tại M (hình vẽ). Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết rằng V=2V1. Khi đó

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{x}}$. Biết $\mathrm{F}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\mathrm{k\pi }\right)=\mathrm{k}$ với mọi $\mathrm{k}\in \mathrm{Z}$. Tính .

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $\mathrm{y}=3\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2$ và trục hoành khi quay quanh trục hoành.

Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm x= a, x= b (a < b) có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $\mathrm{x} \left(\mathrm{a}\le \mathrm{x}\le \mathrm{b}\right)$ là S(x).

Một thùng đựng Bia hơi (có dạng như hình vẽ) có đường kính đáy là 30cm, đường kính lớn nhất của thân thùng là 40cm, chiều cao thùng là 60 cm, cạnh bên hông của thùng có hình dạng của một parabol. Thể tích của thùng Bia hơi gần nhất với số nào sau đây? (với giả thiết độ dày thùng Bia không đáng kể).

Cho vật thể (T) giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0; x=2. Cắt vật thể (T) bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại $\mathrm{x}\left(0\le \mathrm{x}\le 2\right)$ ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $\left(\mathrm{x}+1\right)e^x$. Thể tích vật thể (T) bằng

Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh $2\sqrt{2}$, phía ngoài hình vuông vẽ thêm bốn đường tròn nhận các cạnh của hình vuông làm đường kính (hình vẽ). Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình trên khi quay quanh đường thẳng AC bằng

Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã Y có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol).

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình (H1) giới hạn bởi các đường $\mathrm{y}=\sqrt{2\mathrm{x}}$, $\mathrm{y}=-\sqrt{2\mathrm{x}}$, x=4; hình (H2) là tập hợp tất cả các điểm M(x;y) thỏa mãn các điều kiện ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2\le 16;$ ${\left(\mathrm{x}-2\right)}^2+y^2\ge 4$ ; ${\left(\mathrm{x}+2\right)}^2+y^2\ge 4$. Khi quay (H1);(H2) quanh Ox ta được các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là V1, V2 .Khi đó, mệnh đề nào sau đây là đúng?

Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định dựng một cái lều trại có hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 6 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Tính thể tích phần không gian bên trong trại.

Cho hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi parabol (P) có đỉnh tại O. Gọi S là hình phẳng không bị gạch (như hình vẽ). Tính thể tích V của khối tròn xoay khi cho phần S quay quanh trục Ox.

Khi quay hình phẳng được đánh dấu ở hình vẽ bên xoay quanh trục Ox ta được một khối tròn xoay có thể tích được tính theo công thức