∫2xx2+1+xlnx dx có dạng a3x2+13+b6x2lnx−14x2+C, trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

Theo đề, ta cần tìm ∫2xx2+1+xlnx dx. Sau đó, ta xác định giá trị của . Ta có: ∫2xx2+1+xlnx dx=∫2xx2+1 dx+∫xlnx dx. Để tìm ∫2xx2+1+xlnx dx ta đặt I1=∫2xx2+1 dx và I2=∫xlnx dx và tìm I1, I2. *I1=∫2xx2+1 dx. Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t=x2+1, t≥1 ta được t2=x2+1, xdx=tdt. Suy ra: I1=∫2xx2+1 dx=∫2t2dt=23t3+C1=23x2+13+C1, trong đó C1 là 1 hằng số. *I2=∫xlnx dx. Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần. Đặt u=lnxdv=xdx⇒du=1xdxv=12x2, ta được: I2=∫xlnx dx=∫udv=uv−∫vdu=12x2lnx−∫12x2⋅1xdx=12x2lnx−12∫xdx=12x2lnx−14x2+C2. ∫2xx2+1+xlnx dx=I1+I2=23x2+13+C1+12x2lnx−14x2+C2=23x2+13+12x2lnx−14x2+C. Suy ra để ∫2xx2+1+xlnx dx có dạng a3x2+13+b6x2lnx−14x2+C thì a=2∈ℚ, b=3∈ℚ. Vậy đáp án chính xác là đáp án B.

Câu hỏi:

05/01/2023 111

$\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x$ có dạng $\frac{a}{3} {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3} + \frac{b}{6} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C$ , trong đó $a, b$ là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

A. 3

B. 2

Đáp án chính xác

C. 1

D. không tồn tại

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Theo đề, ta cần tìm $\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x$ . Sau đó, ta xác định giá trị của .

Ta có:

$\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x = \int 2 x \sqrt{x^{2} + 1} d x + \int x \ln x d x$ .

Để tìm $\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x$ ta đặt $I_{1} = \int 2 x \sqrt{x^{2} + 1} d x$ và $I_{2} = \int x \ln x d x$ và tìm $I_{1}, I_{2}$ .

* $I_{1} = \int 2 x \sqrt{x^{2} + 1} d x$ .

Dùng phương pháp đổi biến.

Đặt $t = \sqrt{x^{2} + 1}, t \geq 1$ ta được $t^{2} = x^{2} + 1, x d x = t d t$ .

Suy ra:

$I_{1} = \int 2 x \sqrt{x^{2} + 1} d x = \int 2 t^{2} d t = \frac{2}{3} t^{3} + C_{1} = \frac{2}{3} {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3} + C_{1}$ , trong đó $C_{1}$ là 1 hằng số.

* $I_{2} = \int x \ln x d x$ .

Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Đặt $\{\begin{cases} u = \ln x \\ d v = x d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{1}{x} d x \\ v = \frac{1}{2} x^{2} \end{cases}$ , ta được:

$I_{2} = \int x \ln x d x = \int u d v = u v - \int v d u = \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \int \frac{1}{2} x^{2} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x d x = \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C_{2}$ .

$\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x = I_{1} + I_{2} = \frac{2}{3} {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3} + C_{1} + \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C_{2} = \frac{2}{3} {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3} + \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C$ .

Suy ra để $\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x$ có dạng $\frac{a}{3} {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3} + \frac{b}{6} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C$ thì $a = 2 \in ℚ, b = 3 \in ℚ .$

Vậy đáp án chính xác là đáp án B.

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$ trên khoảng $(- 2; + \infty)$ là

Xem đáp án » 05/01/2023 262

Câu 2:

Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của $K = \int \frac{{(7 x - 1)}^{2017}}{{(2 x + 1)}^{2019}} d x$ ?

Xem đáp án » 05/01/2023 208

Câu 3:

Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của $g (x) = \frac{\ln x}{{(x + 1)}^{2}}$ ?

Xem đáp án » 05/01/2023 193

Câu 4:

Cho $\int f (x) d x = F (x) + C .$ Khi đó với a ¹ 0, ta có $\int f (a x + b) d x$ bằng:

Xem đáp án » 05/01/2023 173

Câu 5:

Tìm $I = \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x$ ?

Xem đáp án » 05/01/2023 163

Câu 6:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{\ln {(1 + x^{2})}^{x} + 2017 x}{\ln [{(e . x^{2} + e)}^{x^{2} + 1}]}$ ?

Xem đáp án » 05/01/2023 155

Câu 7:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1} \ln (x^{2} + 1)$ là:

Xem đáp án » 05/01/2023 154

Câu 8:

Tìm $T = \int \frac{x^{n}}{1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ... + \frac{x^{n}}{n!}} d x$ ?

Xem đáp án » 05/01/2023 153

Câu 9:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{3} + x$ là

Xem đáp án » 05/01/2023 152

Câu 10:

Nguyên hàm $\int \frac{1}{x^{2} - 7 x + 6} d x$ là:

Xem đáp án » 05/01/2023 149

Câu 11:

Gọi $F (x)$ là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{x + 1} - \frac{1}{x^{2}}$ . Nguyên hàm của $f (x)$ biết $F (3) = 6$ là:

Xem đáp án » 05/01/2023 146

Câu 12:

Kết quả nào dưới đây không phải là nguyên hàm của $\int (\sin^{3} x + \cos^{3} x) d x$ ?

Xem đáp án » 05/01/2023 145

Câu 13:

$\int (x^{2} + 2 x^{3}) d x$ có dạng $\frac{a}{3} x^{3} + \frac{b}{4} x^{4} + C$ , trong đó $a, b$ là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

Xem đáp án » 05/01/2023 143

Câu 14:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x)$ thỏa mãn điều kiện: $f (x) = 2 x - 3 \cos x, F (\frac{π}{2}) = 3$

Xem đáp án » 05/01/2023 143

Câu 15:

Họ nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x) = \cot^{2} x$ là :

Xem đáp án » 05/01/2023 143

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

10 đề 35875 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản

6 đề 35139 lượt thi Thi thử
Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải

3 đề 32304 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao

11 đề 22490 lượt thi Thi thử
Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải

5 đề 20668 lượt thi Thi thử
70 câu trắc nghiệm Khối đa diện cơ bản

6 đề 17924 lượt thi Thi thử
Đề thi thử Hình học không gian trong đề thi Đại học 2017 có lời giải

23 đề 17228 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit nâng cao

9 đề 16884 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân nâng cao

6 đề 12411 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit cơ bản

9 đề 12165 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »