Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(-3,3,-3) thuộc mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x-2y+z+15=0$ và mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z-5\right)}^2=100$ .

Đường thẳng $∆$ qua A, nằm trên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  cắt $\left(S\right)$  tại $M,N$ . Để độ dài MN lớn nhất thì phương trình đường thẳng $∆$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2,1,-2), B(5,1,1) và mặt cầu (S) có phương trình $x^2+y^2+z^2+6y+12z+9=0$ . Xét đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng d là

Đường thẳng $∆$ là giao tuyến của hai mặt phẳng x+z-5=0 và x-2y-z+3=0 thì $∆$ có phương trình là

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-2}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-3}{1},d_2:\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=1+2t\\ z=-1+t\end{array}\right.$  và điểm $A\left(1;2;3\right)$ . Đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với $d_1$  và cắt $d_2$  có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}-5\overrightarrow{k};\overrightarrow{OB}=-2\overrightarrow{j}-4\overrightarrow{k}$ . Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Cho điểm A(1,2,3) và hai mặt phẳng $\left(P\right):2x+2y+z+1=0,\left(Q\right):2x-y+2z-1=0$ .

Phương trình đường thẳng d đi qua A song song với cả (P) và (Q) là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{3}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z+1}{1}$  và mặt phẳng $\left(P\right):2x+y-2z-12=0$ . Viết phương trình đường thẳng d' là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng (P).

Trong không gian Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(2,-1,3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}\left(1;2;-4\right)$  là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x-y+z-10=0, điểm A(1,3,2) và đường thẳng $d:\frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-1}$ .

Tìm phương trình đường thẳng $∆$ cắt $\left(P\right)$  và d lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của MN.

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-1};d_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-3}$ . Phương trình đường thẳng $∆$ cắt $d_1,d_2$  lần lượt tại A  và B sao cho AB nhỏ nhất là

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right):3x+y+z=0$  và đường thẳng $\Delta :\frac{x-3}{1}=\frac{y+4}{-2}=\frac{z-1}{2}$ . Phương trình của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ , cắt và vuông góc với đường thẳng $∆$ là

Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1,-1,2), song song với mặt phẳng $\left(P\right):2x-y-z+3=0$ , đồng thời tạo với đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z}{2}$  một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(2,3,3), phương trình đường trung tuyến kẻ từ B là $d:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{-1}$ , phương trình đường phân giác trong của góc C là $\Delta :\frac{x-2}{2}=\frac{y-4}{-1}=\frac{z-2}{-1}$ .

Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+2}{3}$ . Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của d?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có $A\left(1;1;2\right),B\left(-2;3;1\right),C\left(3;-1;4\right)$ . Phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh B là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y-z-1=0 và đường thẳng $d:\frac{x-4}{-2}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+1}{1}$ . Phương trình đường thẳng d' là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P) là