Cho tứ diện SABC có \(SA = 4a\) và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC vuông tại B, có \[AB = a,{\rm{ }}BC = 3a\]. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC bằng
D. \(26\pi {a^2}\)
Giải bởi Vietjack
Đáp án B
Phương pháp:
- Xác định tâm mặt cầu.
- Tính diện tích mặt cầu: \(S = 4\pi {R^2}\)
Cách giải:
Gọi O, I lần lượt là trung điểm của AC, SC.
Tam giác ABC vuông tại B \( \Rightarrow \) O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
IO là đường trung bình của tam giác SAC \( \Rightarrow IO//SA\)
Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow IO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow IA = IB = IC\,\,\,\left( 1 \right)\)
Tam giác SAC vuông tại A \( \Rightarrow IA = IS = IC\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC và bán kính mặt cầu \(R = \frac{{SA}}{2}\)
\(\Delta ABC\) vuông tại B \( \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} = a\sqrt {10} \)
\(\Delta SAC\) vuông tại A \( \Rightarrow SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {4a} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {10} a} \right)}^2}} = a\sqrt {26} \)
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC bằng \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {a\sqrt {26} } \right)^2} = 104\pi {a^2}\)
Cho x, y là hai số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
Các hình trụ tròn xoay có diện tích toàn phần là S không đổi, gọi chiều cao hình trụ là h và bán kính đáy hình trụ là r. Thể tích của khối trụ đó đạt giá trị lớn nhất khi
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 6{x^2} + 8x - 2\) tại điểm \({x_0} = 1\) là
Giá trị của m để hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x + m\) đạt cực đại tại \(x = 1\) là:
Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý theo hình thức lãi kép (một quý bằng 3 tháng). Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được tính từ lần gửi ban đầu đến thời điểm sau khi gửi thêm 1 năm, gần nhất với kết quả nào sau đây?
Cho x là số thực dương. Dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ của biểu thức \(\sqrt {x.\sqrt[3]{x}} \) là:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên là
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Tập hợp tất cả các số thực m để hàm số \(y = {x^3} + 5{x^2} - 4mx - 3\) đồng biến trên R là
Cho hình nón có bán kính đáy bằng a, đường sinh có độ dài bằng \(a\sqrt 3 \). Thể tích của khối nón đó là
Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là BC = 10km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm ngắn nhất tính từ đảo C vào bờ là AB = 40km. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy từ khách sạn ra đảo (như hình vẽ dưới đây). Biết kinh phí đi đường thủy là 5 USD/km, kinh phí đi đường bộ là 3 USD/km. Hỏi người đó phải đi đường bộ một đoạn AD bao nhiêu để kinh phí đi từ A đến C nhỏ nhất? (AB vuông góc BC-hình dưới đây)
Cho hình chóp S.ABCD có đường cao \(SA = 4a\); ABCD là hình thang với đáy lớn AD, biết \(AD = 4a,\,\,AB = BC = CD = 2a\). Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng
