Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn (O) tại D. Kẻ đường kính AE của đường tròn (O). Chứng minh:
a) BC // DE.
b) Tứ giác BCED là hình thang cân.
Lời giải
a) Xét ∆ADE nội tiếp đường tròn đường kính AE
Þ AD ^ DE (1)
Lại có AH ^ BC Þ AD ^ BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra DE // BC (cùng vuông góc với AD).
b) Ta có: Tứ giác ABDC nội tiếp
\( \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {ACB}\) (3) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Lại có \(\widehat {ACE} = 90^\circ \) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow \widehat {ACB} + \widehat {BCE} = 90^\circ \) (4)
AD ^ BC \( \Rightarrow \widehat {BHD} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {HBD} + \widehat {HDB} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {CBD} + \widehat {ADB} = 90^\circ \) (5)
Từ (3), (4) và (5) nên suy ra \(\widehat {BCE} = \widehat {CBD}\).
Mà BC // DE (cmt).
Nên suy ra tứ giác BCED là hình thang cân.
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ, vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC (I thuộc AB, K thuộc AC).
a) Chứng minh AIMK, ABOC là các tứ giác nội tiếp;
b) Vẽ MP vuông góc với BC (P thuộc BC). Chứng minh \(\widehat {MPK} = \widehat {MBC}\);
c) Chứng minh MI.MK = MP2;
d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và I là trung điểm của AB. Lấy điểm M trong đoạn AD sao cho AD = 3AM.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Đường thẳng qua M song song với AB cắt CI tại N.
Chứng minh rằng NG // (SCD).
c) Chứng minh rằng MG // (SCD).
Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.
a) So sánh độ dài AM, DE.
b) Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để DE có độ dài nhỏ nhất.
Cho hàm số bậc nhất y = (2m − 1)x + m − 1 (d)
a) Tìm m để hàm số đồng biến.
b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt đường thẳng y = 2x + 1 tại một điểm trên trục tung.
c) Cho m = 2 vẽ đường thẳng (d) và khoảng cách từ gốc tọa dộ đến đường thẳng (d).
Cho tam giác ABC có \(\widehat C = 90^\circ \). Kẻ CH vuông góc với AB. Trên AB và AC lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho BM = BC; CN = CH. Chứng minh rằng:
a) MN ^ AC.
b) AC + BC < AB + CH.
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng OA ^ BC.
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD // AO.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết OB = 2 cm, OA = 4 cm.
Cho hai đường tròn (O; R) và (O; R') tiếp xúc ngoài tại A (R > R'). Vẽ dây AM của đường tròn (O) và dây AN cùa đường tròn (O') sao cho AM ⊥ AN. Gọi BC là một tiếp tuyến chung ngoài của hai dường tròn (O) và (O') với B Î (O), C Î (O').
a) Chứng minh rằng ba đường thẳng MN, BC và OO' đồng quy.
b) Xác định vị trí của điểm M và N để tứ giác MNO'O có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.