Cho hàm số bậc bốn f (x) có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực trị của hàm số g(x) = x2[f (x − 1)]4 là:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Ta có:
g(x) = x2[f (x − 1)]4
Þ g '(x) = 2x[f (x − 1)]4 + 4x2f '(x − 1)[f (x − 1)]3
Û g '(x) = 2x[f (x − 1)]3[f (x − 1) + 2xf '(x − 1)] = 0
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f\left( {x - 1} \right) = 0\\f\left( {x - 1} \right) + 2xf'\left( {x - 1} \right) = 0\end{array} \right.\]
Đặt t = x − 1 Þ x = t + 1
Xét phương trình f (x − 1) = 0 Û f (t) = 0
Dựa vào BBT ta thấy phương trình f (t) = 0 có 4 nghiệm phân biệt khác 1 nên phương trình f (x − 1) = 0 có 4 nghiệm phân biệt khác 0.
Xét phương trình f (x − 1) + 2xf '(x − 1) = 0
Þ f (t) + 2(t + 1)f '(t) = 0 (*)
Dựa vào BBT ta thấy:
f (x) là hàm bậc bốn trùng phương, đặt f (x) = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)
Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm (−1; 3), (0; −1), (1; 3) và có ba điểm cực trị x = 0, x = ±1 nên ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}c = - 1\\a + b + c = 3\\f'\left( 1 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - 1\\a + b + c = 3\\4a + 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4\\b = 8\\c = - 1\end{array} \right.\]
Þ f (x) = −4x4 + 8x2 − 1 Þ f '(x) = −16x3 + 16x.
Thay vào (*) ta có:
−4t4 + 8t2 − 1 + 2(t + 1)( −16t3 + 16t) = 0
Û −4t4 + 8t2 − 1 − 32t4 + 32t2 − 32t3 + 32t = 0
Û −36t4 − 32t3 + 40t2 + 32t − 1 = 0
Xét hàm số h (t) = −36t4 − 32t3 + 40t2 + 32t − 1 ta có:
h '(t) = − 144t3 − 96t2 + 80t + 32
Ta có: \[h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{2}{3}\\t = \frac{{ - 1}}{3}\\t = - 1\end{array} \right.\].
Ta có BBT:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình h (t) = 0 có 4 nghiệm phân biệt khác 1
Þ Phương trình f (x − 1) − 2xf '(x − 1) = 0 có 4 nghiệm phân biệt khác 0.
Do đó, phương trình g '(x) = 0 có tất cả 9 nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số g(x) = x2[f (x − 1)]4 có tất cả 9 điểm cực trị.Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD // AO.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết OB = 2 cm; OA = 4 cm.
d) Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M.
Chứng minh: AM.AD = AH.AO.
e) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh AD tại K và cắt đường BC tại E. Chứng minh ED là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O), (B, C là các tiếp điểm). Vẽ đường kính CD của đường tròn (O).
a) Chứng minh rằng: OA ^ BC và OA // BD.
b) Gọi E là giao điểm của AD và đường tròn (O) (E khác D), H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng: AE.AD = AH.AO.
Cho đường tròn (O; R) và một điểm A sao cho OA = 2R, vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O; R), B và C là các tiếp điểm. Vẽ đường kính BOD.
a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng: DC // OA.
c) Đường trung trực của BD cắt AC và CD lần lượt tại S và E. Chứng minh rằng OCEA là hình thang cân.
d) Gọi I là giao điểm của đoạn OA và (O), K là giao điểm của tia SI và AB. Tính theo R diện tích tứ giác AKOS.
Cho hàm số bậc nhất y = (m − 1)x + 4 có đồ thị là đường thẳng (d) (m là tham số và m ≠ 1).
a) Vẽ đồ thị khi m = 2.
b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = −3x + 2 (d1).
c) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 6 cm, AC = 8 cm.
a) Tính BC, BH, HC, AH .
b) Kẻ phân giác AD. Tính BD, DC.
c) Tính diên tích tam giác AHD.
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và K là điểm chính giữa cung AB. Trên cung KB lấy một điểm M (khác K, B). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP // KM. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP và BM; E là giao điểm của PB và AM.
a) Chứng minh rằng tứ giác PQME nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh: ∆AKN = ∆BKM.
c) Chứng minh: AM . BE = AN . AQ.
d) Gọi R, S lần lượt là giao điểm thứ hai của QA, QB với đường tròn ngoại tiếp ∆OMP. Chứng minh rằng khi M di động trên cung KB thì trung điểm I của RS luôn nằm trên một đường cố định
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I (I nằm giữa A và O). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC (E khác B và C), AE cắt CD tại F. Chứng minh:
a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) AE . AF = AC2.
c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Cho 2 đường thẳng: \(\left( {{d_1}} \right):\;y = \frac{1}{2}x + 2\) và (d2): y = −x + 2.
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox, C là giao điểm của (d1), (d2). Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm).
Cho hàm số bậc bốn f (x) có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực trị của hàm số g(x) = x4[f (x − 1)]2 là:
