Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết thể tích của khối chóp bằng \[\frac{{{a^3}}}{6}\]. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp của hình chóp S.ABC.
Giải bởi Vietjack
Áp dụng công thức \[r = \frac{{3V}}{{{S_{tp}}}}\,\,\] (*) và tam giác đều cạnh x có diện tích \[S = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4}\,\,\]
Từ giả thiết S.ABC đều có SA = SB = SC. Lại có SA, SB, SC đôi một vuông góc và thể tích khối chóp S.ABC bằng \[\frac{{{a^3}}}{6}\]nên ta có SA = SB = SC = a.
Suy ra \[AB = BC = CA = a\sqrt 2 \] và tam giác ABC đều cạnh có độ dài \[a\sqrt 2 \]. Do đó diện tích toàn phần của khối chóp S.ABC là
Stp = SSAB + SSBC + SSCA + SABC
\[ = \frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}}{2}\]
Thay vào (*) ta được: \[\frac{{4\pi }}{3}\].
Vậy r = \[r = \frac{a}{{3 + \sqrt 3 }}\].
Một mảnh đất trong công viên hình chữ nhật có chiều dài 16m và chiều rộng bằng nửa chiều dài. Người ta dự định làm một giàn hoa bên trong mảnh đất đó có hình thoi như hình bên, còn lại sẽ trồng hoa hồng nếu mỗi mét vuông trồng được 4 cây hoa hồng. Hỏi cần bao nhiêu cây hoa hồng để trồng hết phần đất còn lại?
Từ điểm M bên ngoài đường tròn (O) kẻ cát tuyến MAB (qua O) và tiếp tuyến MC, MD. Gọi K là giao của AC và BD. Chứng minh MK vuông góc với AB.
Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E; CF cắt BE tại H. Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.
Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E. CF cắt BE tại H. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF, Tính số đo cung EHF, diện tích hình quạt IEHF của đường tròn (I) nếu \[\widehat {BAC} = 60^\circ \], AH = 4 cm.
Cho tam giác ABC có \[\widehat B = 60^\circ \], BC = 8 cm, AB+AC= 12 cm. Tính độ dài AB, AC.
Cho tam giác ABC cân tại A (AB = AC). Gọi M là trung điểm của BC. Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại N. Chứng minh tam giác MNC cân.
Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy D sao cho AD = AC. Trên tia đối của AC lấy E sao cho AE = AB. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Chứng minh ΔMAC = ΔNAE.
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB và tiếp tuyến Ax. Từ điểm C thuộc Ax, kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm). Gọi giao điểm của CO và AD là I. Gọi giao điểm của CB và đường tròn (O) là E (E ≠ B). Chứng minh CE.CB = CI.CO.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD và AB = 2CD). Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB và tiếp tuyến Ax. Từ điểm C thuộc Ax, kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm). Gọi giao điểm của CO và AD là I. Chứng minh: CO ⊥ AD.
Biết đa thức f(x) = x3 + ax + b chia cho x – 2 dư 3, chia cho x – 3 dư 5. Tìm đa thức đó.
Cho tam giác ABC, kẻ AH ^ BC. Trên tia đối của tia HA, lấy điểm K sao cho HK = HA. Nối KB, KC. Tìm các cặp tam giác bằng nhau trong hình vẽ.
Cho tam giác ABC có \[\widehat B = 60^\circ \], BC = 10 cm. Chu vi của tam giác ABC là 24 cm. Tính độ dài AB, AC.
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 6, gồm ba chữ số đôi một khác nhau?
Tìm các hệ số a, b, c sao cho đa thức 3x4 + ax2 + bx + c chia hết cho đa thức (x – 2) và chia cho đa thức (x2 – 1) được thương và còn dư (−7x – 1).
