Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn ${\int }_{-2}^{2}f\left(\sqrt{x^2+5}-x\right)\mathit{=}\mathit{1}$, ${\int }_1^5\frac{f\left(x\right)}{x^2}dx=3$. Tích phân ${\int }_1^{5}f\left(x\right)dx$ bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f(3)=21, ${\int }_0^{3}f\left(x\right)dx=9$. Tính tích phân $\mathrm{I}={\int }_0^1\mathrm{x}.\mathrm{f}\text{'}\left(3\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$.

Cho f(x) là hàm số liên tục trên R thỏa mãn $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(2-\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}.{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^2}$. Tính tích phân $\mathrm{I}={\int }_0^2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$.

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn $5\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-7\mathrm{f}\left(1-\mathrm{x}\right)=3\left({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}\right)$ ,. Biết rằng tích phân $\mathrm{I}={\int }_0^1\mathrm{x}.\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=-\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ ( với $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ là phân số tối giản ). Tính $\mathrm{T}=8\mathrm{a}-3\mathrm{b}$.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm, liên tục trên đoạn [1;2] đồng thời thỏa mãn f(2) = 0, ${\int }_1^2{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^{2}dx=\frac{5}{12}+\ln \frac{2}{3}$ và ${\int }_1^2\frac{f\left(x\right)}{{\left(x+1\right)}^2}dx=-\frac{5}{12}+\ln \frac{3}{2}$. Tính $\mathrm{I}={\int }_1^2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn ${\int }_0^{\mathrm{\pi }/4}\tan x.f\left({\cos }^{2}x\right)dx=2$ và ${\int }_{\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^2}\frac{f\left({\ln }^{2}x\right)}{x.\ln x}dx=2$. Tính ${\int }_{1/4}^2\frac{f\left(2x\right)}{x}dx$.

Giả sử hàm số f(x) liên tục, dương trên R; thỏa mãn f(0)=1 và $\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2+1}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$. Khi đó hiệu $\mathrm{T}=\mathrm{f}\left(2\sqrt{2}\right)-2\mathrm{f}\left(1\right)$ thuộc khoảng nào?

Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng thỏa mãn ${\mathrm{x}}^2\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0$ và $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\ne 0$, $\forall \mathrm{x}\in \left(0;+\infty \right)$. Tính f(2) biết f(1) = e.

Cho hàm số y = f(x) liên tục, có đạo hàm trên và có đồ thị như hình vẽ. Tích phân $\mathrm{I}={\int }_0^1\left|\mathrm{f}\text{'}\left(5\mathrm{x}-3\right)\right|$ bằng

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị (C) như hình vẽ. Biết đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại 3 điểm có hoành độ ${\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2,{\mathrm{x}}_3$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ${\mathrm{x}}_3-{\mathrm{x}}_1=2\sqrt{3}$. Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox là S. Diện tích ${\mathrm{S}}_1$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $\mathrm{y}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+1$, $\mathrm{y}=-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-1$, $\mathrm{x}={\mathrm{x}}_1$ và $\mathrm{x}={\mathrm{x}}_3$ bằng

Sân vận động Sports Hub (Singapore) là nơi diễn ra lễ khai mạc đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức ở Singapore năm 2015. Nền sân là một Elip (E) có trục lớn dài 150m , trục bé dài 90m. Nếu cắt sân vận động theo mặt phẳng vuông góc với trục lớn của(E) và cắt (E)  tại M và N(hình a) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm I( phần tô đậm trong hình b) với MN là dây cung và $\widehat{\mathrm{MIN}}={90}^o$. Để lắp máy điều hòa không khí cho sân vận động thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và vật liệu làm mái che không đáng kể. Hỏi thể tích đó xấp xỉ bao nhiêu?

hình a

hình b

Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm trên đoạn [0;3], thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{f}\left(3-\mathrm{x}\right).\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=1\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\ne 1\end{array}\right.$, $\forall \mathrm{x}\in \left[0;3\right]$ và $\mathrm{f}\left(0\right)=\frac{1}{2}$. Tính tích phân $\mathrm{I}={\int }_0^3\frac{\mathrm{x}.\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)}{{\left[1+\mathrm{f}\left(3-\mathrm{x}\right)\right]}^2.{\mathrm{f}}^2\left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx}$

Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên $\left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$, thoả mãn ${\int }_0^{\mathrm{\pi }/2}f\text{'}\left(x\right){\cos }^{2}xdx=10$ và f(0)= 3. Tích phân ${\int }_0^{\mathrm{\pi }/2}f\left(x\right)\sin 2xdx$ bằng

Cho hàm số f(x) thỏa mãn $\mathrm{xf}\text{'}\left(\mathrm{x}\right).\mathrm{lnx}+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^2$, $\forall \mathrm{x}\in \left(1;+\infty \right)$ và $\mathrm{f}\left(\mathrm{e}\right)={\mathrm{e}}^2$. Tính tích phân $\mathrm{I}={\int }_{\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^2}\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx}$.

Biết ${\int }_0^1\frac{{\mathrm{\pi x}}^3+2^{\mathrm{x}}+{\mathrm{ex}}^3{2}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{\pi }+\mathrm{e}.2^{\mathrm{x}}}dx\mathit{=}$$\frac{1}{\mathrm{m}}+\frac{1}{e.\ln n}.\ln \left(p+\frac{e}{e+\mathrm{\pi }}\right)$ với m, n, p là các số nguyên dương. Tính tổng $\mathrm{P}=\mathrm{m}+\mathrm{n}+\mathrm{p}$

Cho $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+4\mathrm{xf}\left({\mathrm{x}}^2\right)=3\mathrm{x}$. Tính tích phân $\mathrm{I}={\int }_0^1\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$.