Cho tam giác ABC (AB < AC), đường cao AK. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm; M và B nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AO). Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng MN và AK. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AMKO nội tiếp đường tròn.
b) KA là tia phân giác của .
c) AN2 = AK.AH.
d) H là trực tâm của tam giác ABC.
Giải bởi Vietjack
a) AM, AN là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên = 90°
AK là đường cao của tam giác ABC nên = 90°
Ba điểm M, K, N cùng nhìn đoạn AO dưới một góc vuông nên năm điểm M, K, N, A, O thuộc đường tròn đường kính AO.
Vậy tứ giác AMKO nội tiếp đường tròn.
b) AM, AN là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AM = AN (1)
Theo chứng minh câu trên, năm điểm M, K, N, O, A cùng thuộc một đường tròn nên ta có tứ giác AMKN nội tiếp
Từ (1) và (2) suy ra (các góc nội tiếp cùng chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau). Vậy KA là tia phân giác của
c) ⇒
∆ANK và ∆ANH có:
⇒ ∆AHN ~ ∆ANK (g.g)
Suy ra: hay AN2 = AH.AK (3)
d) Gọi D là giao điểm của AC và (O)
∆AND và ∆CAN có (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau) nên ∆AND ~ ∆CAN (g.g)
Suy ra: hay AN2 = AD.AC (4)
Từ (3) và (4) suy ra: AH.AK = AD. AC hay
Xét ∆AHD và ∆ACK có:
⇒∆AHD ~ ∆ACK (c.g.c)
⇒ . Dẫn đến (5)
Điểm D thuộc đường tròn đường kính BC nên (6)
Từ (5) và (6) suy ra: B, H, D thẳng hàng
Nghĩa là BH ⊥ AC. Lại có: AH ⊥ BC nên H là trực tâm của tam giác ABC.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB = 9cm, AC = 12cm. Tính BC, AH, HB, HC, diện tích tam giác ABC.
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng: .
Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức: . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: (1) MN và AC song song; (2) MN và AC cắt nhau; (3) MN = AC; (4) 3 điểm M, A, C thẳng hàng
Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Từ H kẻ HE vuông góc với AB tại E, HF vuông góc với AC tại F.
a) Cho biết AB = 3cm, = 30°. Tính độ dài các đoạn AC, HA.
b) Chứng minh: BE.BA + CF.CA + 2.HB.HC = BC2.
Cho tam giác ABC và ba điểm M, N, P thỏa mãn , , . Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
Cho tam giác ABC thỏa mãn . Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.
Cho tam giác ABC có đường cao AD, và trực tâm H. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của HA, HB. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC. Chứng minh
a) Bốn điểm E, F, I, K cùng thuộc một đường tròn.
b) Điểm D cũng thuộc đường tròn đi qua bốn điểm E, F, I, K.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 9cm ; AC=12cm
a) Tính số đo góc B (làm tròn đến độ) và độ dài BH
b) Gọi E, F là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh AE.AB = AF.AC.
Xét mệnh đề kéo theo P: “Nếu 18 chia hết cho 3 thì tam giác cân có 2 cạnh bằng nhau” và Q: “Nếu 17 là số chẵn thì 25 là số chính phương”. Xét tính đúng, sai của mệnh đề P và Q?
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm, BC = 3cm. Kẻ BH vuông góc với AC tại H, tia BH cắt AD tại E.
1) Tính BH, góc BAC.
2) Chứng minh: BH.BE = CD2.
Cho tam giác ABC có AB = AC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D.
a) Chứng minh tam giác ABD bằng tam giác ADC.
b) Kẻ DH vuông góc với AB (H thuộc AB), DK vuông góc với AC (K thuộc AC). Chứng minh DH = CK.
c) Biết = 4 , tính số đo các góc của tam giác ABC.
Cho đường tròn (O,R) cố định. Từ M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến MA,MB (A,B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OM, AB.
a) Chứng minh: OM vuông góc với AB và OH.OM = R2.
b) Từ M kẻ cát tuyến MNP với đường tròn (O) (N nằm giữa M,P), gọi I là trung điểm NP (I khác O). Chứng minh: A, M, O, I thuộc một đường tròn và tìm tâm của đường tròn đó.
c) Qua N kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), cắt MA, MB theo thứ tự C,D. Biết MA = 5cm, tính chu vi tam giác MCD.
d) Qua O kẻ đường thẳng d vuông góc với OM, cắt MA, MB lần lượt tại E, F. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tam giác MEF nhỏ nhất.
Cho tam giác ABC, N là điểm xác định bởi , G là trọng tâm tam giác ABC. Hệ thức tính theo và là?
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: Tam giác ABE và tam giác AFC đồng dạng, AF. AB = AE . AC.
b) Chứng minh = .
c) Cho AE = 3cm, AB = 6cm. Chứng minh: SABC = 4SAEF.
Lớp 10A chọn ra một số học sinh tham gia làm bài khảo sát học sinh giỏi môn Toán. Đề thi có 3 câu. Sau khi chấm bài giáo viên tổng kết được như sau: Có 5 học sinh làm được câu 1, có 6 học sinh làm được câu 2, có 4 học sinh làm được câu 3. Có 3 học sinh làm được câu 1 và câu 2, có 2 học sinh làm được câu 1 và câu 3, có 1 học sinh làm được câu 2 và câu 3 và chỉ có 1 học sinh làm được cả 3 câu. Hỏi có tất cả bao nhiêu học sinh tham gia làm bài khảo sát?
