Tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AC, BC và M, N, P, Q theo thức tự là trung điểm của đoạn thẳng DA, AE, EF, FD
a. Chứng minh: EF là đường trung bình của tam giác ABC.
b. Chứng minh: Tứ giác DAEF, MNPQ là hình bình hành.
c. Khi tam giác ABC vuông tại A thì các tứ giác DAEF, MNPQ là hình gì?
d. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác MNPQ là hình vuông
Giải bởi Vietjack
a) ΔABC có:
E là trung điểm của AC.
F là trung điểm của BC.
⇒ EF là đường trung bình của ΔABC. (đpcm)
b) Ta có: EF là đường trung bình của ΔABC. (cmt)
⇒ EF // AB và EF = AB.
Lại có: D là trung điểm của AB (gt) và D ∈ AB
⇒ AD = AB và AD // EF. (2)
Từ (1), (2) ⇒ EF / AD và EF = AD.
⇒ Tứ giác AEFD là hình bình hành. (đpcm)
ΔAED có:
N là trung điểm của AE. (gt)
M là trung điểm của AD. (gt)
⇒ MN là đường trung bình của ΔAED.
⇒ MN // ED và MN = ED. (3)
Chứng minh tương tự, ta được: PQ // ED và PQ = ED.
Từ (3), (4) ⇒ MN // PQ và MN = PQ.
⇒ Tứ giác MNPQ là hình bình hành. (đpcm)
c) Khi ΔABC vuông tại A thì
Suy ra hình bình hành DAEF có nên DAEF là hình chữ nhật
Khi đó AF = DE
Mặt khác theo tính chất đường trung bình ta có MN = DE, NP = AF
Khi đó: MN = NP
⇒ MNPQ là hình bình hành có MN = NP nên MNPQ là hình thoi.
d) ΔABC vuông tại A thì MNPQ là hình thoi.
Để tứ giác MNPQ là hình vuông thì MN vuông góc NP mà MN // DE, NP // AF (tính chất đường trung bình)
Nếu DE ⊥ AF mà DE // BC (tính chất đường trung bình). Suy ra: AF ⊥ BC
Suy ra: ΔABC vuông tại A có AF vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên ΔABC vuông cân tại A.
Vậy ΔABC vuông cân tại A thì MNPQ là hình vuông.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB = 9cm, AC = 12cm. Tính BC, AH, HB, HC, diện tích tam giác ABC.
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng: .
Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức: . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: (1) MN và AC song song; (2) MN và AC cắt nhau; (3) MN = AC; (4) 3 điểm M, A, C thẳng hàng
Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Từ H kẻ HE vuông góc với AB tại E, HF vuông góc với AC tại F.
a) Cho biết AB = 3cm, = 30°. Tính độ dài các đoạn AC, HA.
b) Chứng minh: BE.BA + CF.CA + 2.HB.HC = BC2.
Cho tam giác ABC và ba điểm M, N, P thỏa mãn , , . Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
Cho tam giác ABC thỏa mãn . Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.
Cho tam giác ABC có đường cao AD, và trực tâm H. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của HA, HB. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC. Chứng minh
a) Bốn điểm E, F, I, K cùng thuộc một đường tròn.
b) Điểm D cũng thuộc đường tròn đi qua bốn điểm E, F, I, K.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 9cm ; AC=12cm
a) Tính số đo góc B (làm tròn đến độ) và độ dài BH
b) Gọi E, F là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh AE.AB = AF.AC.
Xét mệnh đề kéo theo P: “Nếu 18 chia hết cho 3 thì tam giác cân có 2 cạnh bằng nhau” và Q: “Nếu 17 là số chẵn thì 25 là số chính phương”. Xét tính đúng, sai của mệnh đề P và Q?
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm, BC = 3cm. Kẻ BH vuông góc với AC tại H, tia BH cắt AD tại E.
1) Tính BH, góc BAC.
2) Chứng minh: BH.BE = CD2.
Cho tam giác ABC có AB = AC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D.
a) Chứng minh tam giác ABD bằng tam giác ADC.
b) Kẻ DH vuông góc với AB (H thuộc AB), DK vuông góc với AC (K thuộc AC). Chứng minh DH = CK.
c) Biết = 4 , tính số đo các góc của tam giác ABC.
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: Tam giác ABE và tam giác AFC đồng dạng, AF. AB = AE . AC.
b) Chứng minh = .
c) Cho AE = 3cm, AB = 6cm. Chứng minh: SABC = 4SAEF.
Cho đường tròn (O,R) cố định. Từ M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến MA,MB (A,B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OM, AB.
a) Chứng minh: OM vuông góc với AB và OH.OM = R2.
b) Từ M kẻ cát tuyến MNP với đường tròn (O) (N nằm giữa M,P), gọi I là trung điểm NP (I khác O). Chứng minh: A, M, O, I thuộc một đường tròn và tìm tâm của đường tròn đó.
c) Qua N kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), cắt MA, MB theo thứ tự C,D. Biết MA = 5cm, tính chu vi tam giác MCD.
d) Qua O kẻ đường thẳng d vuông góc với OM, cắt MA, MB lần lượt tại E, F. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tam giác MEF nhỏ nhất.
Cho tam giác ABC, N là điểm xác định bởi , G là trọng tâm tam giác ABC. Hệ thức tính theo và là?
Tìm x để biểu thức: f(x) = (3x – x2)(x2 – 6x + 9) nhận giá trị dương.
