Chứng minh \(\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge ab + bc + ca\).
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
\(\frac{{{a^3}}}{b} + ab \ge 2{{\rm{a}}^2}\)
\(\frac{{{b^3}}}{c} + bc \ge 2{b^2}\)
\(\frac{{{c^3}}}{a} + ac \ge 2{c^2}\)
Suy ra \(\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} + ab + bc + ac \ge 2{{\rm{a}}^2} + 2{b^2} + 2{c^2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge 2\left( {{{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - \left( {ab + bc + ac} \right)\)
Theo hệ quả của bất đẳng thức AM – GM thì a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac
Do đó \(\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge ab + bc + ca\)
Vậy \(\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge ab + bc + ca\).
Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (P, Q là tiếp điểm) và 1 cát tuyến MAB (A nằm giữa M và B). Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh 5 điểm M, P, O, I, Q cùng thuộc 1 đường tròn.
b) PQ cắt AB tại E. Chứng minh MP2 = ME . MI.
c) Qua A kẻ đường thẳng song song MP cắt PQ, PB lần lượt tại H và K. Chứng minh KB = 2HI.
Cho hình vuông ABCD, M là một điểm nằm giữa B và C. Kẻ AN vuông góc với AM, AP vuông góc với MN (N và P thuộc đường thẳng CD).
a) Chứng minh tam giác AMN vuông cân và AN2 = NC . NP
b) Tính tỉ số chu vi tam giác CMP và chu vi hình vuông ABCD.
c) Gọi Q là giao điểm của tia AM và tia DC. Chứng minh tổng \(\frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{Q^2}}}\) không đổi khi điểm M thay đổi trên cạnh BC.
Trong lớp 10C có 45 học sinh trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 6 em không thích môn nào, 5 em thích cả ba môn. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên.
Cho ba điểm A(1; 1); B(4; 3) và C (6; –2)
a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình thang có AB // CD và CD = 2AB.
Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông có chu vi là 8a. Diện tích xung quanh của hình trụ đó là:
Giải phương trình \(10\sqrt {{x^3} + 1} = 3\left( {{x^2} + 2} \right)\).
Hàm số \(F\left( x \right) = {e^{{x^2}}}\) là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau: