Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC.
a) Chứng minh \(\frac{{EB}}{{FC}} = {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^3}\).
b) Chứng minh BC.BE.CF = AH3.
Giải bởi Vietjack
Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông ABC, AHB, AHC ta có:
AB.AC = BC.AH ⇒ \(BC = \frac{{AB.AC}}{{AH}}\)
* BH2 = AB.BE
AB2 = BH.BC ⇒ AB4 = BH2 . BC2 = AB.BE.BC2
* CH2 = AC.CF
AC2 = CH.BC ⇒ AC4 = CH2 . BC2 = AC.CF.BC2
Xét: \(\frac{{A{B^4}}}{{A{C^4}}} = \frac{{AB.BE.B{C^2}}}{{AC.CF.B{C^2}}} = \frac{{AB.BE}}{{AC.CF}}\)
Suy ra: \(\frac{{EB}}{{FC}} = {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^3}\)
Lại có: BH2 = AB.BE ⇒ BE = \(\frac{{B{H^2}}}{{AB}}\)
CH2 = AC.CF ⇒ CF = \(\frac{{C{H^2}}}{{AC}}\)
Khi đó: \(BE.CF = \frac{{B{H^2}}}{{AB}}.\frac{{C{H^2}}}{{AC}} = \frac{{A{H^4}}}{{AB.AC}}\)(Vì AH2 = BH.CH)
Vậy BC.BE.CF = \(\frac{{AB.AC}}{{AH}}.\frac{{A{H^4}}}{{AB.AC}} = A{H^3}\).
Tìm m để 2 đường thẳng (d) cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung cho hàm số y = (m + 2)x + 2m2 + 1 tìm m để hai đường thẳng (d): y = (m + 2)x + 2m2 + 1 và (d'): y = 3x + 3 cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung.
người cùng làm một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất mất 5 giờ, người thứ hai mất 4 giờ và người thứ ba mất 6 giờ mới làm xong công việc đó. Hỏi nếu ba người cùng làm thì sau 1 giờ làm được bao nhiêu phần công việc.
Xem hình vẽ, cho biết a// b và c ⊥ a.
a) Đường thẳng c có vuông góc với đường thẳng b không? Vì sao?
b) Cho đường thẳng d cắt hai đường thẳng a và b tại A và B. Cho biết \(\widehat {{A_1}} = 115^\circ \). Tính số đo các góc \(\widehat {{B_2}};\widehat {{B_3}};\widehat {{A_3}}\).
c) Gọi Ax và By lần lượt là tia phân giác của các góc \(\widehat {{A_1}}\) và \(\widehat {{B_3}}\). Chứng minh: Ax //By.
Cho hình thoi EGHK với O là giao điểm của 2 đường chéo. Biết EG = 15 cm. Tính độ dài của GH, HK, KE?
Cho hình bình hành ABCD và O là giao điểm của AC và BD. Trên đường chéo AC lấy 2 điểm M và N sao cho AM = MN = NC
a) Chứng minh: tứ giác BMDN là hình bình hành.
b) BC cắt DN tại K. Chứng minh: N là trọng tâm của tam giác BDC.
Cho phương trình x2 + 2(m – 2)x + m2 – 4m = 0.
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi x.
a) 9x2 – 6x + 2;
b) x2 + x + 1;
c) 2x2 + 2x + 1.
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài BC. Tính góc B và góc C.
Cho các số thực x, y thỏa mãn: 4x2 + 2xy + y2 = 3.
Tìm GTNN, GTLN của P = x2 + 2xy – y2
Cho một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Cho các số thực không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm GTLN của biểu thức Q = \(\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} \).
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 50.51 = 44 200. Tính S = 12 + 22 +… + 502.
Tìm các chữ số a, b để:
a) A = \(\overline {56a3b} \) chia hết cho 18;
b) B = \(\overline {71a1b} \) chia hết cho 45;
c) C = \(\overline {6a14b} \) chia hết cho 2; 3; 5; 9;
d) D = \(\overline {25a1b} \) chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 2.
