Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) có đường cao AH. Gọi AD là phân giác của HAB.
a) Tính cạnh AH, AC biết HB = 18cm, HC = 8cm.
b) Chứng minh tam giác ADC cân và HD.BC = BD.DC.
c) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh
SAEF = SABC.(1 – cos2B).sin2C.
Giải bởi Vietjack
a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, AH ⊥ BC
Nên: AH2 = BH.CH = 18.8 = 144
⇒ AH = 12cm.
AC = \(\sqrt {A{H^2} + H{C^2}} = 4\sqrt {13} \)
b) Vì AD là phân giác \(\widehat {BAH}\) ⇒ \(\widehat {BAD} = \widehat {DAH}\)
\(\widehat {HAC} = 90^\circ - \widehat {HAB} = \widehat {ABH} = \widehat {ABD}\)
⇒ \(\widehat {CDA} = \widehat {DAB} + \widehat {DBA} = \widehat {DAH} + \widehat {CAH} = \widehat {CAD}\)
Suy ra: tam giác CAD cân tại C ⇒ CA = CD
Vì AD là phân giác \(\widehat {BAH}\) ⇒ \(\frac{{DH}}{{DB}} = \frac{{AH}}{{AB}} = \sin B = \frac{{AC}}{{BC}}\)
⇒ HD.BC = BD.AC = DB.CD
c) Ta có: HE ⊥ AB, HF ⊥ AC, AB ⊥ AC
Nên AEHF là hình chữ nhật
⇒ AH = EF
⇒ \(\widehat {AEF} = \widehat {EAH} = \widehat {BAH} = 90^\circ - \widehat B = \widehat {ACB}\)
Mà \(\widehat {EAF} = \widehat {BAC}\)
⇒ ∆AFE ∼ ∆ABC (g.g)
⇒ \(\frac{{{S_{AFE}}}}{{{S_{ABC}}}} = {\left( {\frac{{EF}}{{BC}}} \right)^2} = \frac{{A{H^2}}}{{B{C^2}}}\)
Ta có: 1 – cos2B = sin2B
⇒ (1 – cos2B)sin2C = sin2Bsin2C = (sinBsinC)2
= \({\left( {\frac{{AC}}{{BC}}.\frac{{AB}}{{BC}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{AB.AC}}{{B{C^2}}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{AH.BC}}{{B{C^2}}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{AH}}{{BC}}} \right)^2}\)
⇒ \[\frac{{{S_{AFE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \left( {1--co{s^2}B} \right)si{n^2}C\]
⇒ AEF = SABC.(1 – cos2B).sin2C.
Tìm m để 2 đường thẳng (d) cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung cho hàm số y = (m + 2)x + 2m2 + 1 tìm m để hai đường thẳng (d): y = (m + 2)x + 2m2 + 1 và (d'): y = 3x + 3 cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung.
người cùng làm một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất mất 5 giờ, người thứ hai mất 4 giờ và người thứ ba mất 6 giờ mới làm xong công việc đó. Hỏi nếu ba người cùng làm thì sau 1 giờ làm được bao nhiêu phần công việc.
Xem hình vẽ, cho biết a// b và c ⊥ a.
a) Đường thẳng c có vuông góc với đường thẳng b không? Vì sao?
b) Cho đường thẳng d cắt hai đường thẳng a và b tại A và B. Cho biết \(\widehat {{A_1}} = 115^\circ \). Tính số đo các góc \(\widehat {{B_2}};\widehat {{B_3}};\widehat {{A_3}}\).
c) Gọi Ax và By lần lượt là tia phân giác của các góc \(\widehat {{A_1}}\) và \(\widehat {{B_3}}\). Chứng minh: Ax //By.
Cho hình thoi EGHK với O là giao điểm của 2 đường chéo. Biết EG = 15 cm. Tính độ dài của GH, HK, KE?
Cho hình bình hành ABCD và O là giao điểm của AC và BD. Trên đường chéo AC lấy 2 điểm M và N sao cho AM = MN = NC
a) Chứng minh: tứ giác BMDN là hình bình hành.
b) BC cắt DN tại K. Chứng minh: N là trọng tâm của tam giác BDC.
Cho phương trình x2 + 2(m – 2)x + m2 – 4m = 0.
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi x.
a) 9x2 – 6x + 2;
b) x2 + x + 1;
c) 2x2 + 2x + 1.
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài BC. Tính góc B và góc C.
Cho các số thực x, y thỏa mãn: 4x2 + 2xy + y2 = 3.
Tìm GTNN, GTLN của P = x2 + 2xy – y2
Cho một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Cho các số thực không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm GTLN của biểu thức Q = \(\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} \).
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 50.51 = 44 200. Tính S = 12 + 22 +… + 502.
Tìm các chữ số a, b để:
a) A = \(\overline {56a3b} \) chia hết cho 18;
b) B = \(\overline {71a1b} \) chia hết cho 45;
c) C = \(\overline {6a14b} \) chia hết cho 2; 3; 5; 9;
d) D = \(\overline {25a1b} \) chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 2.
