Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A và O là trung điểm của IK.
a) Chứng minh rằng: 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc (O).
b) Chứng minh rằng: AC là tiếp tuyến của (O).
c) Tính tổng diện tích các hình viên phân giới hạn bởi các cung nhỏ CI, IB, BK, KC và các dây cung tương ứng của (O) biết AB = 20, BC = 24.
Giải bởi Vietjack
a) Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IC là phân giác trong của góc C.
Vì K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC của góc A nên CK là phân giác ngoài của góc C.
Theo tính chất phân giác trong và phân giác ngoài ta có IC vuông CK nên \(\widehat {ICK} = 90^\circ \)
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: \(\widehat {IBK} = 90^\circ \)
Xét tứ giác BICK ta có: \(\widehat {IBK} + \widehat {ICK} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
⇒ BICK là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180°).
Do O là trung điểm của IK nên theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền thì OC = OI = OK.
Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác IBKC.
b) Ta có: Tam giác IOC cân tại O nên \(\widehat {OIC} = \widehat {OCI}\)
Mặt khác, theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có:
\(\widehat {OIC} = \widehat {IAC} + \widehat {ACI} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} + \frac{1}{2}\widehat {ACB} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} + \frac{1}{2}\widehat {ABC}\)
Suy ra: \(\widehat {ICO} + \widehat {ICA} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} + \frac{1}{2}\widehat {ABC} + \frac{1}{2}\widehat {ACB} = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ \)
Suy ra: OC vuông góc CA
Do đó: AC là tiếp tuyến của (O) tại C.
c) Gọi diện tích hình cần tính là S, diện tích hình tròn (O) là S’, gọi giao điểm BC và IK là M.
Ta có ngay: S = S' – SICKB = π.IO2 – SIBK – SIKC = \(\pi .\frac{{I{K^2}}}{4} - \frac{{BM.IK}}{2} - \frac{{CM.IK}}{2} = \pi .\frac{{I{K^2}}}{4} - \frac{{BC.IK}}{2}\)
Ta có: SABC = \(\frac{1}{2}.AM.BC = \frac{{AB + BC + CA}}{2}.IM\)
Suy ra: \(\sqrt {A{B^2} - B{M^2}} .24 = \left( {AB + BC + CA} \right).IM\)
\(\sqrt {{{20}^2} - {{\left( {\frac{{24}}{2}} \right)}^2}.24} = \left( {20.2 + 24} \right).IM\)
⇒ IM = 6
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác IBM vuông tại B có đường cao BM ta có :
BM2 = IM.MK ⇒ MK = 122 : 6 = 24
IK = IM + MK = 24 + 6 = 30
S = \(\frac{1}{4}\pi I{K^2} - \frac{1}{2}.BC.IK = \frac{1}{4}\pi {.30^2} - \frac{1}{2}.24.30 = 225\pi - 360 \approx 346,86\left( {dvdt} \right)\).
Tìm m để 2 đường thẳng (d) cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung cho hàm số y = (m + 2)x + 2m2 + 1 tìm m để hai đường thẳng (d): y = (m + 2)x + 2m2 + 1 và (d'): y = 3x + 3 cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung.
Xem hình vẽ, cho biết a// b và c ⊥ a.
a) Đường thẳng c có vuông góc với đường thẳng b không? Vì sao?
b) Cho đường thẳng d cắt hai đường thẳng a và b tại A và B. Cho biết \(\widehat {{A_1}} = 115^\circ \). Tính số đo các góc \(\widehat {{B_2}};\widehat {{B_3}};\widehat {{A_3}}\).
c) Gọi Ax và By lần lượt là tia phân giác của các góc \(\widehat {{A_1}}\) và \(\widehat {{B_3}}\). Chứng minh: Ax //By.
người cùng làm một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất mất 5 giờ, người thứ hai mất 4 giờ và người thứ ba mất 6 giờ mới làm xong công việc đó. Hỏi nếu ba người cùng làm thì sau 1 giờ làm được bao nhiêu phần công việc.
Một đu quay ở công viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao lâu để đu quay quay được góc 270°?
Cho hình thoi EGHK với O là giao điểm của 2 đường chéo. Biết EG = 15 cm. Tính độ dài của GH, HK, KE?
Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi x.
a) 9x2 – 6x + 2;
b) x2 + x + 1;
c) 2x2 + 2x + 1.
Cho một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Cho hình bình hành ABCD và O là giao điểm của AC và BD. Trên đường chéo AC lấy 2 điểm M và N sao cho AM = MN = NC
a) Chứng minh: tứ giác BMDN là hình bình hành.
b) BC cắt DN tại K. Chứng minh: N là trọng tâm của tam giác BDC.
Tìm các chữ số a, b để:
a) A = \(\overline {56a3b} \) chia hết cho 18;
b) B = \(\overline {71a1b} \) chia hết cho 45;
c) C = \(\overline {6a14b} \) chia hết cho 2; 3; 5; 9;
d) D = \(\overline {25a1b} \) chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 2.
Cho phương trình x2 + 2(m – 2)x + m2 – 4m = 0.
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
An có 90 bút bi và 150 quyển vở muốn chia thành các phần thưởng để ủng hộ học sinh nghèo, sao cho số bút và vở trong các phần thưởng là như nhau. Hỏi An chia được bao nhiêu số phần thưởng trong khoảng từ 5 đến 30 phần thưởng?
Viết số có hai chữ số mà chữ số hàng chục bé hơn chữ số hàng đơn vị là 4.
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài BC. Tính góc B và góc C.
