Cho tam giác ABC có \(\widehat B = \widehat C = 40^\circ \). Kẻ phân giác BD.
Chứng minh BD + AD = BC.
Kẻ MD // BC (M thuộc AB)
Lấy N thuộc BC sao cho BD = BN
Trong tam giác DBN có \(\widehat {DBN} = \frac{1}{2}\widehat B = 20^\circ \)(BD là phân giác)
Mà BD = BN nên tam giác BDN cân tại B; \[\widehat {BND} = \widehat {BDN}\]
Suy ra: \[\widehat {BND} = \frac{{180^\circ - 20^\circ }}{2} = 80^\circ \]
Mà \(\widehat {DNB}\)là góc ngoài của tam giác DNC
Nên: \(\widehat {DNB} = \widehat C + \widehat {CDN}\)
⇒ \(\widehat {CDN} = \widehat {DNB} - \widehat C = 80^\circ - 40^\circ = 40^\circ \)
Vì MD // BC nên \(\widehat {MDB} = \widehat {DBN} = 20^\circ \)
Thấy tam giác BMD cân tại M vì \(\widehat {MBD} = \widehat {MDB} = \widehat {DBN} = 20^\circ \)
Suy ra: BM = MD
Lại có: MD // BC
Suy ra: BM = DC
Mà AB = AC nên AM = AD
\(\widehat {ABD} = \widehat {DBC}\) = \(\frac{1}{2}\widehat B = 20^\circ \)
\[\widehat {ADB} = 180^\circ - 20^\circ - 100^\circ = 60^\circ \]
\[\widehat {BDC} = 180^\circ - 20^\circ - 40^\circ = 120^\circ \]
Vì BDN là tam giác cân tại B nên \(\widehat {BDN} = \widehat {BND} = \frac{{180^\circ - 20^\circ }}{2} = 80^\circ \)
Suy ra: \(\widehat {NDC} = \widehat {BDC} - \widehat {BDN} = 120^\circ - 80^\circ = 40^\circ \)
Mà \(\widehat {DCN} = 40^\circ \)
Nên tam giác DCN cân tại N.
⇒ DN = NC
Xét tam giác AMD và tam giác DNC có:
\(\widehat {ADM} = \widehat {DCN}\)(2 góc đồng vị)
\(\widehat {AMD} = \widehat {NDC} = 40^\circ \)
⇒ ∆AMD ∽ ∆ NDC (g.g)
⇒ \(\frac{{AM}}{{DN}} = \frac{{AD}}{{NC}} = \frac{{MD}}{{DC}}\)
Suy ra: AD = CN.
Vậy BD + AD = BD + NC = BN + NC = BC.
Tìm m để 2 đường thẳng (d) cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung cho hàm số y = (m + 2)x + 2m2 + 1 tìm m để hai đường thẳng (d): y = (m + 2)x + 2m2 + 1 và (d'): y = 3x + 3 cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung.
người cùng làm một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất mất 5 giờ, người thứ hai mất 4 giờ và người thứ ba mất 6 giờ mới làm xong công việc đó. Hỏi nếu ba người cùng làm thì sau 1 giờ làm được bao nhiêu phần công việc.
Xem hình vẽ, cho biết a// b và c ⊥ a.
a) Đường thẳng c có vuông góc với đường thẳng b không? Vì sao?
b) Cho đường thẳng d cắt hai đường thẳng a và b tại A và B. Cho biết \(\widehat {{A_1}} = 115^\circ \). Tính số đo các góc \(\widehat {{B_2}};\widehat {{B_3}};\widehat {{A_3}}\).
c) Gọi Ax và By lần lượt là tia phân giác của các góc \(\widehat {{A_1}}\) và \(\widehat {{B_3}}\). Chứng minh: Ax //By.
Cho hình thoi EGHK với O là giao điểm của 2 đường chéo. Biết EG = 15 cm. Tính độ dài của GH, HK, KE?
Cho hình bình hành ABCD và O là giao điểm của AC và BD. Trên đường chéo AC lấy 2 điểm M và N sao cho AM = MN = NC
a) Chứng minh: tứ giác BMDN là hình bình hành.
b) BC cắt DN tại K. Chứng minh: N là trọng tâm của tam giác BDC.
Cho phương trình x2 + 2(m – 2)x + m2 – 4m = 0.
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi x.
a) 9x2 – 6x + 2;
b) x2 + x + 1;
c) 2x2 + 2x + 1.
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài BC. Tính góc B và góc C.
Cho các số thực x, y thỏa mãn: 4x2 + 2xy + y2 = 3.
Tìm GTNN, GTLN của P = x2 + 2xy – y2
Cho một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Cho các số thực không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm GTLN của biểu thức Q = \(\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} \).
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 50.51 = 44 200. Tính S = 12 + 22 +… + 502.
Tìm các chữ số a, b để:
a) A = \(\overline {56a3b} \) chia hết cho 18;
b) B = \(\overline {71a1b} \) chia hết cho 45;
c) C = \(\overline {6a14b} \) chia hết cho 2; 3; 5; 9;
d) D = \(\overline {25a1b} \) chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 2.