Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng sinA + sinB + sinC ≤ \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
\\\\\\\`
1``
`
Giải bởi Vietjack
Giả sử tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (O; R)
Ta đi chứng minh AB + AC + CA ≤ \(3\sqrt 3 R\)
Ta có: \({\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)^2} \ge 0\)
⇔ OA2 + OB2 + OC2 + \(2\left( {\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OA} } \right) \ge 0\)
⇔ 3R2 \( \ge - 2\left( {\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OA} } \right)\)
⇔ 9R2 \( \ge 6{R^2} - 2\left( {\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OA} } \right)\)
⇔ \(9{R^2} \ge \left( {O{A^2} - 2\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} + O{B^2}} \right) + \left( {O{B^2} - 2\overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OB} + O{C^2}} \right) + \left( {O{C^2} - 2\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC} + O{A^2}} \right)\)
⇔ \[9{R^2} \ge {\left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OA} } \right)^2}\]
⇔ \[9{R^2} \ge {\left( {\overrightarrow {BA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {CB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AC} } \right)^2}\]
⇔ 9R2 ≥ AB2 + AC2 + BC2
⇔ 9R2 ≥ AB2 + AC2 + BC2 ≥ \(\frac{{{{\left( {AB + BC + CA} \right)}^2}}}{{{1^2} + {1^2} + {1^2}}}\)(Bunhiacopxki)
⇔ 9R2 ≥\(\frac{{{{\left( {AB + BC + CA} \right)}^2}}}{3}\)
⇔ 27R2 ≥ (AB + BC + CA)2
⇔ AB + AC + CA ≤ \(3\sqrt 3 R\)
⇔ \(\frac{{AB}}{{2R}} + \frac{{BC}}{{2R}} + \frac{{CA}}{{2R}} \le \frac{{3\sqrt 3 R}}{{2R}}\)
Tìm m để 2 đường thẳng (d) cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung cho hàm số y = (m + 2)x + 2m2 + 1 tìm m để hai đường thẳng (d): y = (m + 2)x + 2m2 + 1 và (d'): y = 3x + 3 cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung.
người cùng làm một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất mất 5 giờ, người thứ hai mất 4 giờ và người thứ ba mất 6 giờ mới làm xong công việc đó. Hỏi nếu ba người cùng làm thì sau 1 giờ làm được bao nhiêu phần công việc.
Xem hình vẽ, cho biết a// b và c ⊥ a.
a) Đường thẳng c có vuông góc với đường thẳng b không? Vì sao?
b) Cho đường thẳng d cắt hai đường thẳng a và b tại A và B. Cho biết \(\widehat {{A_1}} = 115^\circ \). Tính số đo các góc \(\widehat {{B_2}};\widehat {{B_3}};\widehat {{A_3}}\).
c) Gọi Ax và By lần lượt là tia phân giác của các góc \(\widehat {{A_1}}\) và \(\widehat {{B_3}}\). Chứng minh: Ax //By.
Cho hình thoi EGHK với O là giao điểm của 2 đường chéo. Biết EG = 15 cm. Tính độ dài của GH, HK, KE?
Cho hình bình hành ABCD và O là giao điểm của AC và BD. Trên đường chéo AC lấy 2 điểm M và N sao cho AM = MN = NC
a) Chứng minh: tứ giác BMDN là hình bình hành.
b) BC cắt DN tại K. Chứng minh: N là trọng tâm của tam giác BDC.
Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi x.
a) 9x2 – 6x + 2;
b) x2 + x + 1;
c) 2x2 + 2x + 1.
Cho phương trình x2 + 2(m – 2)x + m2 – 4m = 0.
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài BC. Tính góc B và góc C.
Cho các số thực x, y thỏa mãn: 4x2 + 2xy + y2 = 3.
Tìm GTNN, GTLN của P = x2 + 2xy – y2
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 50.51 = 44 200. Tính S = 12 + 22 +… + 502.
Cho một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Viết số có hai chữ số mà chữ số hàng chục bé hơn chữ số hàng đơn vị là 4.
Cho các số thực không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm GTLN của biểu thức Q = \(\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} \).
