Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) với B, C là các tiếp điểm. Kẻ một đường thẳng d nằm giữa hai tia AB, AO và đi qua A cắt đường tròn (O) tại E, F (E nằm giữa A, F).
1. Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
2. Gọi H là giao điểm của AD và BC. Chứng minh OH.OA = OE2.
3. Đường thẳng qua O vuông góc với EF cắt BC tại E. Chứng minh SF là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Giải bởi Vietjack
1) Theo giả thiết ta có: AB và AC là tiếp tuyến của (O) nên: \[\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OB\\AC \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {ABO} = 90^\circ \\\widehat {ACO} = 90^\circ \end{array} \right.\]
Xét tứ giác ABOC có: \[\widehat {ABO} + \widehat {ACO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]
Mà 2 góc này là hai góc đối diện
Nên ABOC là tứ giác nội tiếp
Vậy A, B, O, C cùng nằm trên 1 đường tròn.
2) Gọi H là giao điểm AO và BC
Ta có: AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Nên A thuộc đường trung trực của BC (1)
OB = OC = R nên O thuộc đường trung trực của BC (2)
Từ (1), (2): OA là đường trung trực của BC
⇒ OA ⊥ BC = {H}
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABO vuông tại B có đường cao BH, ta có:
OB2 = OH.OA
Lại có OB = OE = R
Nên: OE2 = OH.OA
3) Theo phần b ta có: OE2 = OH.OA ⇒ \(\frac{{OE}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OE}}\)
Xét tam giác OEA và tam giác OHE có:
Chung \(\widehat O\)
\(\frac{{OE}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OE}}\)
⇒ ∆OEA ∽ ∆OHE (c.g.c)
⇒ \(\widehat {OEA} = \widehat {OHE}\)(2 góc tương ứng)
Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {FEO} = 180^\circ - \widehat {OEA}\\\widehat {EHA} = 180^\circ - \widehat {OHE}\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {FEO} = \widehat {EHA}\)
Mặt khác:
\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {SOE} = 90^\circ - \widehat {FEO}\\\widehat {SHE} = 90^\circ - \widehat {EHA}\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {SOE} = \widehat {SHE}\)
Xét tứ giác SOHE có: \(\widehat {SOE} = \widehat {SHE}\) cùng chắn cung SE
Suy ra: SOHE nội tiếp
⇒ \(\widehat {SEO} = \widehat {SHO} = 90^\circ \)
Xét tam giác SFO và tam giác SEO có:
SO chung
SF = SE
OF = OE = R
⇒ ∆SFP = ∆SEO (c.c.c)
⇒ \(\widehat {SFO} = \widehat {SEO} = 90^\circ \)
⇒ SF ⊥ OF tại F
Vậy SF là tiếp tuyến của (O).
Tìm m để 2 đường thẳng (d) cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung cho hàm số y = (m + 2)x + 2m2 + 1 tìm m để hai đường thẳng (d): y = (m + 2)x + 2m2 + 1 và (d'): y = 3x + 3 cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung.
người cùng làm một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất mất 5 giờ, người thứ hai mất 4 giờ và người thứ ba mất 6 giờ mới làm xong công việc đó. Hỏi nếu ba người cùng làm thì sau 1 giờ làm được bao nhiêu phần công việc.
Xem hình vẽ, cho biết a// b và c ⊥ a.
a) Đường thẳng c có vuông góc với đường thẳng b không? Vì sao?
b) Cho đường thẳng d cắt hai đường thẳng a và b tại A và B. Cho biết \(\widehat {{A_1}} = 115^\circ \). Tính số đo các góc \(\widehat {{B_2}};\widehat {{B_3}};\widehat {{A_3}}\).
c) Gọi Ax và By lần lượt là tia phân giác của các góc \(\widehat {{A_1}}\) và \(\widehat {{B_3}}\). Chứng minh: Ax //By.
Cho hình thoi EGHK với O là giao điểm của 2 đường chéo. Biết EG = 15 cm. Tính độ dài của GH, HK, KE?
Cho hình bình hành ABCD và O là giao điểm của AC và BD. Trên đường chéo AC lấy 2 điểm M và N sao cho AM = MN = NC
a) Chứng minh: tứ giác BMDN là hình bình hành.
b) BC cắt DN tại K. Chứng minh: N là trọng tâm của tam giác BDC.
Cho phương trình x2 + 2(m – 2)x + m2 – 4m = 0.
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi x.
a) 9x2 – 6x + 2;
b) x2 + x + 1;
c) 2x2 + 2x + 1.
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài BC. Tính góc B và góc C.
Cho các số thực x, y thỏa mãn: 4x2 + 2xy + y2 = 3.
Tìm GTNN, GTLN của P = x2 + 2xy – y2
Cho một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Cho các số thực không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm GTLN của biểu thức Q = \(\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} \).
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 50.51 = 44 200. Tính S = 12 + 22 +… + 502.
Tìm các chữ số a, b để:
a) A = \(\overline {56a3b} \) chia hết cho 18;
b) B = \(\overline {71a1b} \) chia hết cho 45;
c) C = \(\overline {6a14b} \) chia hết cho 2; 3; 5; 9;
d) D = \(\overline {25a1b} \) chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 2.
