Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AD = a, M là trung điểm của cạnh AB. Biết rằng sin\(\widehat {MDB} = \frac{1}{3}\). Tính độ dài của đoạn thẳng AB theo a.
Giải bởi Vietjack
Ta có: cos\(\widehat {MDB} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
Xét tam giác AMD có: SAMD = \(\frac{1}{2}\)AD.AM
SAMD = \(\frac{1}{2}.AD.\frac{{AB}}{2} = \frac{1}{4}.AD.AB = \frac{1}{4}.AD.a\)
Xét tam giác MDB có: SBMD = \(\frac{1}{2}\)MD.DB.sin\(\widehat {MDB} = \frac{1}{6}.MD.DB\)
Xét tam giác ABD có: SABD = \(\frac{1}{2}\)AD.AB = \(\frac{1}{2}.a.AB\) (1)
Mà SAMD + SBMD = SABD
⇔ \(\frac{1}{4}.a.AB + \frac{1}{6}.MD.DB = \frac{1}{2}.a.AB\)
Xét tam giác MDB có: MB2 = MD2 + DB2 – 2.MB.BD.cos\(\widehat {MDB}\)
⇔ \(\frac{{A{B^2}}}{4} = M{D^2} + D{B^2} - 2.MB.BD.\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
⇔ MD.DB = \(\left( {M{D^2} + D{B^2} - \frac{{A{B^2}}}{4}} \right).\frac{3}{{4\sqrt 2 }}\)
⇔ MD.DB = \(\left( {2{a^2} + A{B^2}} \right).\frac{3}{{4\sqrt 2 }}\left( 2 \right)\)
Thế (2) vào (1) ta có:
\(\frac{1}{4}a.AB + \frac{{\sqrt 2 }}{{16}}\left( {2{a^2} + A{B^2}} \right) = \frac{1}{2}.AB.a\)
⇔ \(\frac{{\sqrt 2 }}{{16}}\left( {2{a^2} + A{B^2}} \right) = \frac{1}{4}a.AB\)
⇔ AB2 – 2\(\sqrt 2 \)a.AB + 2a2 = 0
⇔ (AB – a\(\sqrt 2 \))2 = 0
⇔ AB = a\(\sqrt 2 \).
Tìm m để 2 đường thẳng (d) cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung cho hàm số y = (m + 2)x + 2m2 + 1 tìm m để hai đường thẳng (d): y = (m + 2)x + 2m2 + 1 và (d'): y = 3x + 3 cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung.
người cùng làm một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất mất 5 giờ, người thứ hai mất 4 giờ và người thứ ba mất 6 giờ mới làm xong công việc đó. Hỏi nếu ba người cùng làm thì sau 1 giờ làm được bao nhiêu phần công việc.
Xem hình vẽ, cho biết a// b và c ⊥ a.
a) Đường thẳng c có vuông góc với đường thẳng b không? Vì sao?
b) Cho đường thẳng d cắt hai đường thẳng a và b tại A và B. Cho biết \(\widehat {{A_1}} = 115^\circ \). Tính số đo các góc \(\widehat {{B_2}};\widehat {{B_3}};\widehat {{A_3}}\).
c) Gọi Ax và By lần lượt là tia phân giác của các góc \(\widehat {{A_1}}\) và \(\widehat {{B_3}}\). Chứng minh: Ax //By.
Cho hình bình hành ABCD và O là giao điểm của AC và BD. Trên đường chéo AC lấy 2 điểm M và N sao cho AM = MN = NC
a) Chứng minh: tứ giác BMDN là hình bình hành.
b) BC cắt DN tại K. Chứng minh: N là trọng tâm của tam giác BDC.
Cho hình thoi EGHK với O là giao điểm của 2 đường chéo. Biết EG = 15 cm. Tính độ dài của GH, HK, KE?
Cho phương trình x2 + 2(m – 2)x + m2 – 4m = 0.
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài BC. Tính góc B và góc C.
Cho một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 50.51 = 44 200. Tính S = 12 + 22 +… + 502.
Cho các số thực không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm GTLN của biểu thức Q = \(\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} \).
Cho các số thực x, y thỏa mãn: 4x2 + 2xy + y2 = 3.
Tìm GTNN, GTLN của P = x2 + 2xy – y2
Tìm các chữ số a, b để:
a) A = \(\overline {56a3b} \) chia hết cho 18;
b) B = \(\overline {71a1b} \) chia hết cho 45;
c) C = \(\overline {6a14b} \) chia hết cho 2; 3; 5; 9;
d) D = \(\overline {25a1b} \) chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 2.
Viết số có hai chữ số mà chữ số hàng chục bé hơn chữ số hàng đơn vị là 4.
