Cho các số thực x, y thỏa mãn: 4x2 + 2xy + y2 = 3.
Tìm GTNN, GTLN của P = x2 + 2xy – y2
Ta có: \(\frac{P}{3} = \frac{{{x^2} + 2xy - {y^2}}}{{4{x^2} + 2xy + {y^2}}}\) (*)
Xét y = 0 thì x2 = \(\frac{3}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Suy ra: \[\left[ \begin{array}{l}P = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} + 2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}.0 - {0^2} = \frac{3}{4}\\P = {\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} + 2.\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.} \right)0 - {0^2} = \frac{3}{4}\end{array} \right.\]
Xét y khác 0, chia cả (*) cho y2 ta được: \(\frac{P}{3} = \frac{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} + 2\frac{x}{y} - 1}}{{4{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} + 2\frac{x}{y} + 1}}\)
Đặt \(\frac{x}{y} = a \Rightarrow \frac{P}{3} = \frac{{{a^2} + 2a - 1}}{{4{a^2} + 2a + 1}}\)
* Xét \(\frac{P}{3} - \left( { - 2} \right) = \frac{{{a^2} + 2a - 1}}{{4{a^2} + 2a + 1}} + 2 = \frac{{{{\left( {3a + 1} \right)}^2}}}{{4{a^2} + 2a + 1}}\)
Vì (3a + 1)2 ≥ 0 với mọi a nên \(\frac{{{{\left( {3a + 1} \right)}^2}}}{{4{a^2} + 2a + 1}} \ge 0\)
Suy ra: \(\frac{P}{3} - \left( { - 2} \right) \ge 0 \Rightarrow P \ge - 6\)
Vậy GTNN của P là –6 khi 3a + 1 = 0 hay a = \(\frac{{ - 1}}{3} \Leftrightarrow \frac{x}{y} = \frac{{ - 1}}{3} \Leftrightarrow - 3x = y\)
Thay vào 4x2 + 2xy + y2 = 3, ta được: 7x2 = 3
⇔ \[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt {21} }}{7}\\x = - \frac{{\sqrt {21} }}{7}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \frac{{ - 3\sqrt {21} }}{7}\\y = \frac{{3\sqrt {21} }}{7}\end{array} \right.\]
Vậy GTNN của P là –6 khi (x; y) = \(\left( {\frac{{\sqrt {21} }}{7};\frac{{ - 3\sqrt {21} }}{7}} \right);\left( { - \frac{{\sqrt {21} }}{7};\frac{{3\sqrt {21} }}{7}} \right)\)
* Xét \(\frac{P}{3} - \frac{1}{3} = \frac{{{a^2} + 2a - 1}}{{4{a^2} + 2a + 1}} - \frac{1}{3} = \frac{{ - {{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{4{a^2} + 2a + 1}}\)
Vì –(a – 2)2 ≤ 0 với mọi a nên: \(\frac{{ - {{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{4{a^2} + 2a + 1}} \le 0,\forall a\)
Suy ra: \(\frac{P}{3} - \frac{1}{3} \le 0 \Rightarrow P \le 1\)
Vậy GTLN của P là 1 khi a – 2 = 0 hay a = 2.
Khi đó x = 2y
Thay vào 4x2 + 2xy + y2 = 3, ta được: 21y2 = 3
⇔ \[\left[ \begin{array}{l}y = \frac{1}{{\sqrt 7 }}\\y = - \frac{1}{{\sqrt 7 }}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{2}{{\sqrt 7 }}\\x = - \frac{2}{{\sqrt 7 }}\end{array} \right.\]
Vậy GTLN của P là 1 khi (x; y) = \(\left( {\frac{2}{{\sqrt 7 }};\frac{1}{{\sqrt 7 }}} \right);\left( { - \frac{2}{{\sqrt 7 }}; - \frac{1}{{\sqrt 7 }}} \right)\).
Tìm m để 2 đường thẳng (d) cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung cho hàm số y = (m + 2)x + 2m2 + 1 tìm m để hai đường thẳng (d): y = (m + 2)x + 2m2 + 1 và (d'): y = 3x + 3 cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung.
người cùng làm một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất mất 5 giờ, người thứ hai mất 4 giờ và người thứ ba mất 6 giờ mới làm xong công việc đó. Hỏi nếu ba người cùng làm thì sau 1 giờ làm được bao nhiêu phần công việc.
Xem hình vẽ, cho biết a// b và c ⊥ a.
a) Đường thẳng c có vuông góc với đường thẳng b không? Vì sao?
b) Cho đường thẳng d cắt hai đường thẳng a và b tại A và B. Cho biết \(\widehat {{A_1}} = 115^\circ \). Tính số đo các góc \(\widehat {{B_2}};\widehat {{B_3}};\widehat {{A_3}}\).
c) Gọi Ax và By lần lượt là tia phân giác của các góc \(\widehat {{A_1}}\) và \(\widehat {{B_3}}\). Chứng minh: Ax //By.
Cho hình bình hành ABCD và O là giao điểm của AC và BD. Trên đường chéo AC lấy 2 điểm M và N sao cho AM = MN = NC
a) Chứng minh: tứ giác BMDN là hình bình hành.
b) BC cắt DN tại K. Chứng minh: N là trọng tâm của tam giác BDC.
Cho hình thoi EGHK với O là giao điểm của 2 đường chéo. Biết EG = 15 cm. Tính độ dài của GH, HK, KE?
Cho phương trình x2 + 2(m – 2)x + m2 – 4m = 0.
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài BC. Tính góc B và góc C.
Cho một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 50.51 = 44 200. Tính S = 12 + 22 +… + 502.
Cho các số thực không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm GTLN của biểu thức Q = \(\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} \).
Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi x.
a) 9x2 – 6x + 2;
b) x2 + x + 1;
c) 2x2 + 2x + 1.
Tìm các chữ số a, b để:
a) A = \(\overline {56a3b} \) chia hết cho 18;
b) B = \(\overline {71a1b} \) chia hết cho 45;
c) C = \(\overline {6a14b} \) chia hết cho 2; 3; 5; 9;
d) D = \(\overline {25a1b} \) chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 2.
Viết số có hai chữ số mà chữ số hàng chục bé hơn chữ số hàng đơn vị là 4.