Cho mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + mz = 0\] và đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}} = \frac{{z - 3}}{1}\]. Tìm tham số \[m\] để \[d \bot \left( P \right)\].

Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai đường thẳng \[{d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\] và \[{d_2}:\frac{{x + 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\]. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho

Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], cho đường thẳng \[d:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\] và mặt phẳng \[\left( P \right):2x + y + z - 4 = 0\]. Tính góc giữa đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\].

Cho đường thẳng \[d:\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\] và mặt phẳng \[\left( P \right):\]\[3x - 4y + 14z - 5 = 0\]. Tìm khẳng định đúng?

Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] để đường thẳng \[d:\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{1}\] song song với mặt phẳng \[\left( P \right):2x + \left( {1 - 2m} \right)y + {m^2}z + 1 = 0.\]

Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], đường thẳng nào dưới đây đi qua điểm \[A\left( {3; - 3;2} \right)\]?

I. Nhận biết

Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], cho đường thẳng \[d:\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{1}\]. Đường thẳng \[d\] có một vectơ chỉ phương là

Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left( {5; - 3;6} \right)\]; \[B\left( {5; - 1; - 5} \right)\]. Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[AB\].

Cho đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 2 - 2t\\z = 2 - 11t\end{array} \right.\]. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng \[d\]?

Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \[A\left( {1;2;3} \right)\] và \[B\left( {5;4; - 1} \right)\] là

Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai đường thẳng \[{\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2t\\y = 5 + 3t\\z = 2t\end{array} \right.\] và \[{\Delta _2}:\] \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 6}}{4}\]. Góc giữa hai đường thẳng \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\] bằng

II. Thông hiểu

Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \[A\left( {2;0; - 1} \right)\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y + z + 3 = 0\] là

Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], cho ba điểm \[A\left( {1; - 1;0} \right)\], \[B\left( {1;0; - 2} \right)\], \[C\left( {3; - 1; - 1} \right)\]. Khoảng cách từ điểm \[A\] đến đường thẳng \[BC\] là

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho ba điểm \[A\left( {0; - 1;3} \right)\], \[B\left( {1;0;1} \right)\], \[C\left( { - 1;1;2} \right)\]. Viết phương trình đường thẳng \[d\] đi qua điểm \[A\] và song song với \[BC.\]

III. Vận dụng

Trong không gian \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left( {1;4;2} \right)\] và \[B\left( { - 1;2;4} \right)\]. Viết phương trình đường thẳng \[d\] đi qua trọng tâm tam giác \[OAB\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( {OAB} \right).\]

Trong không gian \[Oxyz\], gọi \[\Delta \] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( P \right):\]\[x - y + z + 3 = 0\] và \[\left( Q \right):2x + 3y - z - 3 = 0\]. Khi đó phương trình đường thẳng \[\Delta \] là