Cho đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + t\\z = 3\end{array} \right.\] và mặt phẳng \[\left( \alpha \right):x + y + z - 1 = 0\] và điểm \[A\left( {\frac{2}{3};1;\frac{2}{3}} \right)\]. Viết phương trình đường thẳng \[\Delta \]cắt \[d\] và \[\left( \alpha \right)\] lần lượt tại \[M,N\] sao cho tam giác \[OMN\] nhận \[G\] làm trọng tâm.
A. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + t\\z = 3 + 4t.\end{array} \right.\]
B. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + 3t\\z = 3 + 2t.\end{array} \right.\]
C. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 1 + t\\z = 3 + 4t.\end{array} \right.\]
D. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + 3t\\z = 3 + 2t.\end{array} \right.\]
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: A
Gọi \[M \in d\] nên \[M\left( {2 + t;3 + t;3} \right)\].
Ta có: \[G\] là trọng tâm tam giác \[OMN\] thì
\[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_O} + {x_M} + {x_N}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_O} + {y_M} + {y_N}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_O} + {z_M} + {z_N}}}{3}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = 0 + 2 + t + {x_N}\\3 = 0 + 3 + t + {y_N}\\2 = 0 + 3 + {z_N}\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow N\left( { - t; - t; - 1} \right)\].
Mà \[N \in \left( \alpha \right)\] nên \[ - t - t - 1 - 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 1.\]
Suy ra \[M\left( {1;2;3} \right)\], \[N\left( {1;1; - 1} \right)\].
Ta có: \[\overrightarrow {MN} = \left( {0; - 1; - 4} \right) = - 1\left( {0;1;4} \right).\]
Vậy phương trình đường thẳng \[\Delta \]:\[\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + t\\z = 3 + 4t.\end{array} \right.\]
Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \[A\left( {0;2; - 4} \right)\] và đường thẳng \[{d_1}:\]\[\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}.\] Gọi \[H\] là hình chiếu của \[A\] trên đường thẳng \[{d_1}\]. Đường thẳng \[AH\] có một vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\] với \[a,b,c \in \mathbb{Z}.\] Khi đó \[2a - b + c\] bằng
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho ba điểm \[A\left( {0; - 1;3} \right)\], \[B\left( {1;0;1} \right)\], \[C\left( { - 1;1;2} \right)\]. Viết phương trình đường thẳng \[d\] đi qua điểm \[A\] và song song với \[BC.\]
Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] để đường thẳng \[d:\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{1}\] song song với mặt phẳng \[\left( P \right):2x + \left( {1 - 2m} \right)y + {m^2}z + 1 = 0.\]
Phương trình đường thẳng \[\Delta \] đi qua \[A\left( {2;3;0} \right)\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right):x + 3y - z + 5 = 0\] là
III. Vận dụng
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left( {1;4;2} \right)\] và \[B\left( { - 1;2;4} \right)\]. Viết phương trình đường thẳng \[d\] đi qua trọng tâm tam giác \[OAB\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( {OAB} \right).\]
Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left( {5; - 3;6} \right)\]; \[B\left( {5; - 1; - 5} \right)\]. Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[AB\].
Cho đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 2 - 2t\\z = 2 - 11t\end{array} \right.\]. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng \[d\]?
Cho mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + mz = 0\] và đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}} = \frac{{z - 3}}{1}\]. Tìm tham số \[m\] để \[d \bot \left( P \right)\].
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai đường thẳng \[{d_1}:\frac{{x - 6}}{1} = \frac{{y - 4}}{{ - 4}} = \frac{{z - 4}}{1}\] và \[{d_2}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{{ - 2}}\]. Viết phương trình đường thẳng \[\Delta \] là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \[{d_1}\] và \[{d_2}\].
Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \[A\left( {1;2;3} \right)\] và \[B\left( {5;4; - 1} \right)\] là
Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai đường thẳng \[{d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\] và \[{d_2}:\frac{{x + 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\]. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho
Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], cho đường thẳng \[d:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\] và mặt phẳng \[\left( P \right):2x + y + z - 4 = 0\]. Tính góc giữa đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\].
Cho đường thẳng \[d:\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\] và mặt phẳng \[\left( P \right):\]\[3x - 4y + 14z - 5 = 0\]. Tìm khẳng định đúng?
Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], đường thẳng nào dưới đây đi qua điểm \[A\left( {3; - 3;2} \right)\]?
II. Thông hiểu
Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \[A\left( {2;0; - 1} \right)\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y + z + 3 = 0\] là
