Gọi s là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho $10m\in Z$ và phương trình $2{\log }_{mx-5}\left(2x^2-5x+4\right)={\log }_{\sqrt{mx-5}}\left(x^2+2x-6\right)$ có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của S

Cho x, y là các số thực thỏa mãn ${\log }_{3x+y}\left(x^2+y^2\right)\le 1$. Khi 3x + y đạt giá trị lớn nhất, thì giá trị $k=\frac{x}{y}$ là:

Biết $x_1,x_2\left(x_1<x_2\right)$ là hai nghiệm của phương trình ${\log }_3\left(\sqrt{x^2-3x+2}+2\right)+5^{x^2-3x+1}=2$ và $x_1+2x_2=\frac{1}{2}\left(a+\sqrt{b}\right)$ với a, b là hai số nguyên dương. Tính a – b.

Tìm m để tồn tại duy nhất cặp (x;y) thỏa mãn ${\log }_{x^2+y^2+2}\left(4x+4y-4\right)\ge 1$ và $x^2+y^2+2x-2y+2-m=0$

Xét bất phương trình ${\log }_2^{2}2x-2\left(m+1\right){\log }_{2}x-2<0$. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng $\left(\sqrt{2};+\infty \right)$

Biết rằng $2^{x+\frac{1}{x}}={\log }_2\left[14-\left(y-2\right)\sqrt{y+1}\right]$ trong đó x > 0. Tính giá trị của biểu thức $P=x^2+y^2-xy+1$

Biết $x_1,x_2$ là hai nghiệm phương trình ${\log }_7\left(\frac{4x^2-4x+1}{2x}\right)+4x^2+1=6x$ và $x_1+2x_2=\frac{1}{4}\left(a+\sqrt{b}\right)$ với a, b là hai số nguyên dương. Tính a + b

Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [1;2] thỏa mãn ${\log }_2^{3}a+{\log }_2^{3}b+{\log }_2^{3}c\le 1$. Khi biểu thức $P=a^3+b^3+c^3-3\left({\log }_2{a}^a+{\log }_2{b}^b+{\log }_2{c}^c\right)$ đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của tổng a+b+c là:

Xét các số thực a, b thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{3}<b<a<1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={\log }_a\left(\frac{3b-1}{4}\right)+12{\log }_{\frac{b}{a}}^{2}a-3$

Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình ${\log }_2\left(\frac{2x^2+1}{2x}\right)+2^{\left(x+\frac{1}{2x}\right)}=5$

Cho $m={\log }_a\sqrt{ab}$ với $a,b>1$ và $P={\log }_a^{2}b+54{\log }_{b}a$. Khi đó giá trị của m để P đạt giá trị nhỏ nhất là

Cho hai số thực a, b thỏa mãn $a>b>\frac{4}{3}$ và biểu thức $P=16{\log }_a\left(\frac{a^3}{12b-16}\right)+3{\log }_{\frac{a}{b}}^{2}a$ có giá trị nhỏ nhất. Tính a + b

Gọi S là tập nghiệm của phương trình $\left(2-x\right)\left(2+4^x\right)=6$. Khi đó số phần tử của tập S là bao nhiêu?

Xét các số thực dương x, y thỏa mãn ${\log }_{\sqrt{3}}\frac{x+y}{x^2+y^2+xy+2}=x\left(x-3\right)+y\left(y-3\right)+xy$. Tìm giá trị lớn nhất $P_{\max }$ của biểu thức $P=\frac{3x+2y+1}{x+y+6}$

Có bao nhiêu số nguyên dương a (a là tham số) để phương trình $\left(3a^2+12a+15\right){\log }_{27}\left(2x-x^2\right)+\left(\frac{9}{2}{a}^2-3a+1\right){\log }_{\sqrt{11}}\left(1-\frac{x^2}{2}\right)=2{\log }_9\left(2x-x^2\right)+{\log }_{11}\left(\frac{2-x^2}{2}\right)$ có nghiệm duy nhất?

Tìm tất cả các giá trị của m để hệ sau có nghiệm $\left\{\begin{array}{c}{3}^{2x+\sqrt{x+1}}-3^{2+\sqrt{x+1}}+2017x\le 2017\\ x^2-\left(m+2\right)x+2m+3\ge 0\end{array}\right.$