Cho các phát biểu sau:

1. Hàm số $y=f\left(x\right)$ đạt cực đại tại $x_0$ khi và chỉ khi đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua $x_0$

2. Hàm số $y=f\left(x\right)$ đạt cực trị tại $x_0$ khi và chỉ khi $x_0$ là nghiệm của đạo hàm.

3. Nếu $f\text{'}\left(x\right)=0$ và $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=0$ thì $x_0$ không phải là cực trị của hàm số $y=f\left(x\right)$ đã cho

4. Nếu $f\text{'}\left(x\right)=0$ và $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=0$ thì hàm số đạt cực đại tại $x_0$

Các phát biểu đúng là:

Đáp án B

+ Ta có định lí: nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm $x_0$ (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại điểm $x_0$ $\Rightarrow$1 đúng.

+ Điều kiện cần để $x_0$ là điểm cực trị của hàm số là: $x_0$ là nghiệm của phương trình $f\text{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 2$ sai

+ Nếu $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ và f (x) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm $x_0$ thì:

• Nếu $f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)<0$ thì hàm số f (x) đạt cực đại tại điểm $x_0$
• Nếu $f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)>0$ thì hàm số f (x) đạt cực tiểu tại điểm $x_0$
• Nếu $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ và $f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)=0$ thì ta không kết luận gì chứ không phải hàm số không  đạt cực trị tại điểm $x_0$

Khi $\left\{\begin{array}{c}f\text{'}\left(x_0\right)=0\\ f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)=0\end{array}\right.$ thì ta không kết luận gì vì có thể xảy ra cả hai trường hợp là hàm số đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại $x_0$

Ví dụ:

 + TH1: xét hàm $f\left(x\right)=x^4$ có $f\text{'}\left(x\right)=4x^3=0\iff x=0$; $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=12x^2$ và $f\text{'}\text{'}\left(0\right)=0$

Trong TH này hàm số có $f\text{'}\text{'}\left(0\right)=0$ nhưng vẫn đạt cực tiểu tại x = 0 vì đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)$ đổi dấu từ âm sang dương qua x = 0.

+ TH2: xét hàm $f\left(x\right)=x^3$ có $f\text{'}\left(x\right)=3x^2=0\iff x=0$ ; $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6x\Rightarrow f\text{'}\text{'}\left(0\right)=0$

Trong TH này hàm số có $f\text{'}\text{'}\left(0\right)=0$ nhưng không đạt cực trị tại x = 0 vì đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=3x^2$ không đổi dấu tại x = 0.

$\Rightarrow$3 và 4 sai