Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, \[AB = 4,SA = SB = SC = 12\]. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm AC, BC, AB. Trên cạnh SB lấy điểm F sao cho \[\frac{{BF}}{{BS}} = \frac{2}{3}\]. Thể tích khối tứ diện \[MNEF\]bằng

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tỉ số thể tích hai khối chóp tam giác:

\[\frac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}}\]

Công thức tính thể tích khối chóp \[V = \frac{1}{3}Sh\] với S là diện tích đáy, h là chiều cao.

Giải chi tiết:

Gọi D là giao điểm của MB và EN thì D là trung điểm của MB.

Ta có: \[{V_{MNEF}} = {V_{M.NEF}} = \frac{1}{3}{S_{NEF}}.d\left( {M,\left( {NEF} \right)} \right)\]

Do D là trung điểm của MB và MB cắt (EFN) tại D nên \[d\left( {M,\left( {NEF} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {NEF} \right)} \right)\]

\[ \Rightarrow {V_{MNEF}} = \frac{1}{3}{S_{NEF}}.d\left( {B,\left( {NEF} \right)} \right)\] \[ = {V_{B.NEF}}\]

Mà \[\frac{{{V_{B.NEF}}}}{{{V_{B.CAS}}}} = \frac{{BN}}{{BC}}.\frac{{BE}}{{BA}}.\frac{{BF}}{{BS}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3} = \frac{1}{6}\]

\[ \Rightarrow {V_{B.NEF}} = \frac{1}{6}{V_{B.CAS}} = \frac{1}{6}{V_{S.ABC}}\]

Vì SA=SB=SC nên S nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Mà ABC vuông cân nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Do đó \[SM \bot \left( {ABC} \right)\].

Diện tích tam giác ABC là \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}.4.4 = 8\]

Tam giác ABC vuông cân tại B nên \[AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{4^2} + {4^2}} = 4\sqrt 2 \]

\[ \Rightarrow AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}.4\sqrt 2 = 2\sqrt 2 \]

Tam giác SMA vuông tại M nên theo Pitago ta có: \[SM = \sqrt {S{A^2} - A{M^2}} = \sqrt {{{12}^2} - {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} = 2\sqrt {34} \]

Thể tích khối chóp S.ABC là: \[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SM = \frac{1}{2}.8.2\sqrt {34} = 8\sqrt {34} \]

Thể tích khối tứ diện MNEF là: \[{V_{MNEF}} = \frac{1}{6}.{V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}.8\sqrt {34} = \frac{{4\sqrt {34} }}{3}\]