Cho các chữ số 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9; có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 15, gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là $\overline{abcd}\left(a\ne 0\right)$

Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.
⇒ dϵ{0; 5}
TH1: d = 0, số cần tìm có dạng $\overline{abc0}$

Để số cần tìm chia hết cho 3 thì a + b + c ⁝ 3
Ta có các nhóm:

$\left\{\begin{array}{c}9\equiv 0\left(\mathrm{mod}3\right)\\ \left\{1;4;7\right\}\equiv 1\left(\mathrm{mod}3\right)\\ \left\{2;5;8\right\}\equiv 2\left(\mathrm{mod}3\right)\end{array}\right.$

+) a, b, c ≡ 1(mod 3) ⇒ a, b, c ϵ{1; 4; 7}
⇒ Có 3! cách chọn.
+) a, b, c ≡ 2(mod3) ⇒ a, b, c ϵ {2; 5; 8}
⇒ Có 3! cách chọn.
+) Trong 3 số a, b, c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.
⇒ Có $1.C_3^1.C_3^1.3!$ cách chọn

⇒ Có $3!+3!+1.C_3^1.C_3^1.3!=66$ số

TH2: d = 5, số cần tìm có dạng $\overline{abc5}$

Để số cần tìm chia hết cho 3 thì a + b + c + 5 ⁝ 3, trong đó 5 ≡ 2(mod 3).
Ta có các nhóm: 

$\left\{\begin{array}{c}\left\{0;9\right\}\equiv 0\left(\mathrm{mod}3\right)\\ \left\{1;4;7\right\}\equiv 1\left(\mathrm{mod}3\right)\\ \left\{2;8\right\}\equiv 2\left(\mathrm{mod}3\right)\end{array}\right.$

+) Trong 3 số a, b, c có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1.
- Ta chọn số chia hết cho 3 trước: Có 1 cách chọn. Chọn tiếp số chia cho 3 dư 1, có $C_3^1$ cách chọn. Sắp xếp các số này có 3! cách. Theo quy tắc nhân có: $C_3^1.3!$ cách chọn

Trong các cách chọn này có số có chữ số 0 ở đầu nên ta phải trừ đi các cách chọn a, b, c có a = 0, ta cần tìm $\overline{bc}$:

Chọn số chia hết cho 3 có 1 cách, chọn số chia 3 dư 1 có $C_3^1$ cách. Sắp xếp hai số này có 2! cách. Số cách chọn $\overline{bc}$ là $C_3^1.2!$

⇒ Có $C_3^1.3!-C_3^1.2!=12$ cách

+) Trong 3 số a, b, c có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 3.
⇒ Có $C_2^1.3!-2!=10$ cách chọn

+) Trong 3 số a, b, c có 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.
⇒ Có $C_3^2.C_2^1.3!=36$ cách chọn

Vậy có tất cả 66 + 12 + 10 + 36 = 124 số thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: A