Biết phương trình ${\log }_3 \left(3^x-1\right) \left[1 + {\log }_3 \left(3^x-1\right)\right]=6$ có hai nghiệm là $x_1 < x_2$ và tỉ số $\frac{x_1}{x_2} = \log \frac{a}{b}$trong đó $a,b\in \mathrm{\mathbb{N}}$ và a,b có ước chung lớn nhất bằng 1. Tính a + b

Giả sử F(x) là một nguyên hàm của $f\left(x\right) = \frac{\ln (x+3)}{x^2}$ sao cho F(-2)+F(1)=0. Giá trị của F(-1)+F(2) bằng

Tìm tập hợp S của bất phướng trình $5^{1-2x} > \frac{1}{125}$

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn hệ thức: $2{\log }_2 a - {\log }_2 b \le {\log }_2 \left(a+6b\right)$. Tìm giá trị lớn nhất $P_{max}$ của biểu thức $P = \frac{ab - b^2}{a^2 - ab + 2b^2}$

Tìm m để phương trình $4^{x^2} - 2^{x^2+2} + 6 = m$ có đúng 3 nghiệm.

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${\log }_2 \left(3.2^x - 1\right) = 2x + 1$ bằng

Biết rằng trong tất cả các cặp (x; y) thỏa mãn: ${\log }_2 \left(x^2+y^2+2\right) \le {\log }_2 \left(x+y-1\right)$. Chỉ có duy nhất một cặp (x; y) thỏa mãn: 3x + 4y - m = 0 . Khi đó hãy tính tổng tất cả các giá trị m tìm được?

Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $\log \left(mx\right) = 2\log \left(x+1\right)$ có nghiệm là 

Cho a là số thực dương thỏa mãn $a\ne 10$, mệnh đề nào dưới đây sai?

Cho ${\log }_a c = x > 0$ và ${\log }_b c = y > 0$. Khi đó giá trị của ${\log }_{ab} c$là

Số nghiệm thực của phương trình $2^{\sqrt{x}} = 2^{2-x}$ là:

Phương trình $\ln \left(x-\frac{1}{2}\right).\ln \left(x+\frac{1}{2}\right).\ln \left(x+\frac{1}{4}\right).\ln \left(x+\frac{1}{8}\right)$ có bao nhiêu nghiệm?

Cho các số thực x,y dương thỏa mãn ${\log }_2 {\left(x+2y\right)}^2 = {\log }_{\sqrt{2}} x + 4{\log }_4 y$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{x^2}{1+4y} +\frac{y^2}{2x+1}$

Hệ phương trình nào sau đây có duy nhất một nghiệm?

Tổng các nghiệm của phương trình ${{\log }_2}^2 x - {\log }_2 9 . {\log }_3 x = 3$ là:

Cho x>0; y>0 thỏa mãn $\ln \left(x{y}^2\right) = 8$, $\ln \frac{x}{y} = -1$ Tính P = ln(xy)