Câu hỏi:

07/07/2024 93

Cho tứ diện ABCD có G là điểm thỏa mãn $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ . Mặt phẳng thay đổi chứa BG và cắt AC,AD lần lượt tại M và N. Giá trị nhỏ nhất của tỉ số $\frac{V_{A B M N}}{V_{A B C D}}$ là

A. $\frac{3}{8}$

B. $\frac{4}{9}$

Đáp án chính xác

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{5}{9}$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi O là trọng tâm tam giác BCD

$\Rightarrow \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = 3 \vec{G O}$

$\Rightarrow \vec{G A} + 3 \vec{G O} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{G A} = - 3 \vec{G O}$

$\Rightarrow \frac{A G}{A O} = \frac{3}{4}$

Trong (ABE) gọi $F = B G \cap A E (F \in A E)$

Lấy $M \in A C$ trong (ACD) gọi $N = M F \cap A D (N \in A D)$ khi đó ta có mặt phẳng chứa BG cắt AC,AD lần lượt tại M,N chính là (BMN).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác AOE, cát tuyến BGF:

$\frac{G A}{G O} . \frac{B O}{B E} . \frac{F E}{F A} = 1 \Rightarrow 3. \frac{2}{3} . \frac{F E}{F A} = 1 \Rightarrow \frac{F E}{F A} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{A F}{A E} = \frac{2}{3} \Rightarrow F$ là trọng tâm tam giác ACD.

Trong (ACD) kéo dài MN cắt CD tại H. Đặt $\frac{A M}{A C} = x (0 < x < 1)$

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACE, cát tuyến MHF:
$\frac{M A}{M C} . \frac{H C}{H E} . \frac{F E}{F A} = 1 \Rightarrow \frac{x}{1 - x} . \frac{H C}{H E} . \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \frac{H C}{H E} = \frac{2 (1 - x)}{x}$
$\Rightarrow H E = \frac{x}{2 (1 - x)} H C$
$\Rightarrow H C + C E = \frac{x}{2 (1 - x)} H C$
$\Rightarrow C E = \frac{3 x - 2}{2 (1 - x)} H C$

Ta có:
$\begin{array}{l} H D = H C + 2 C E \\ = H C + \frac{3 x - 2}{1 - x} H C = \frac{2 x - 1}{1 - x} H C \\ \Rightarrow \frac{H E}{H D} = \frac{x}{2 (1 - x)} : \frac{2 x - 1}{1 - x} = \frac{x}{2 (2 x - 1)} \end{array}$

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác AED, cát tuyến MFN:
$\begin{array}{l} \frac{F A}{F E} . \frac{H E}{H D} . \frac{N D}{N A} = 1 \Rightarrow 2. \frac{x}{2 (2 x - 1)} . \frac{N D}{N A} = 1 \\ \Rightarrow \frac{N D}{N A} = \frac{2 x - 1}{x} \Rightarrow \frac{N A}{N D} = \frac{x}{2 x - 1} \\ \Rightarrow \frac{N A}{N A + N D} = \frac{x}{x + 2 x - 1} = \frac{x}{3 x - 1} \\ \Rightarrow \frac{A N}{A D} = \frac{x}{3 x - 1} \end{array}$

Khi đó ta có $\frac{V_{A B M N}}{V_{A B C D}} = \frac{A M}{A C} . \frac{A N}{A D} = x . \frac{x}{3 x - 1} = \frac{x^{2}}{3 x - 1} (x > \frac{1}{3})$

Xét hàm số $f (x) = \frac{x^{2}}{3 x - 1} (x > \frac{1}{3})$ ta có
$f^{'} (x) = \frac{2 x (3 x - 1) - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}} = \frac{3 x^{2} - 2 x}{{(3 x - 1)}^{2}}; f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 (k t m) \\ x = \frac{2}{3} \end{matrix}$

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy $\min_{(\frac{1}{3}; + \infty)} f (x) = f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{9}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của tỉ số $\frac{V_{A B M N}}{V_{A B C D}} = \frac{4}{9}$
Đáp án cần chọn là: B

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là $16 c m^{2}$ , diện tích một mặt bên là $8 \sqrt{3} c m^{2}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Xem đáp án » 14/10/2022 148

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 2, $∠ B A D = 60^{0}, S A = S C$ và tam giác SBD vuông cân tại S. Gọi E là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AE và cắt hai cạnh SB,SD lần lượt tại M và N. Thể tích lớn nhất $V_{0}$ của khối đa diện ABCDNEM bằng:

Xem đáp án » 14/10/2022 148

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết $S B = a$ , SC hợp với (SAB) một góc 30⁰ và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 60⁰. Thể tích khối chóp là:

Xem đáp án » 14/10/2022 147

Câu 4:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao h, góc ở đỉnh của mặt bên bằng 60⁰. Thể tích hình chóp là:

Xem đáp án » 14/10/2022 139

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,BC=2AB=2a. Cạnh bên SC vuông góc với đáy, góc giữa SA và đáy bằng 60⁰. Thể tích khối chóp đó bằng:

Xem đáp án » 14/10/2022 138

Câu 6:

Cho khối chóp có thể tích V, diện tích đáy là S và chiều cao h. Chọn công thức đúng:

Xem đáp án » 14/10/2022 135

Câu 7:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60⁰. Tính thể tích khối chóp S.ABC?

Xem đáp án » 14/10/2022 131

Câu 8:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng $\sqrt{6}$ . Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng $3 \sqrt{2}$ . Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.ABC

Xem đáp án » 14/10/2022 130

Câu 9:

Phép vị tự tỉ số k > 0 biến khối chóp có thể tích V thành khối chóp có thể tích V′. Khi đó:

Xem đáp án » 14/10/2022 126

Câu 10:

Cho khối chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA,SB,SC lần lượt lấy các điểm A′,B′,C′. Khi đó:

Xem đáp án » 14/10/2022 122

Câu 11:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Xem đáp án » 14/10/2022 120

Câu 12:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 8. Ở bốn đỉnh tứ diện, nguời ta cắt đi các tứ diện đều bằng nhau có cạnh bằng x, biết khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích bằng $\frac{3}{4}$ thể tích tứ diện ABCD. Giá trị của x là:

Xem đáp án » 14/10/2022 119

Câu 13:

Cho hình chóp S.ABCD có $SA ⊥ (A B C D)$ . Biết $A C = a \sqrt{2}$ , cạnh SC tạo với đáy một góc 60⁰ và diện tích tứ giác ABCD là $\frac{3 a^{2}}{2}$ . Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh SC. Tính thể tích khối chóp H.ABCD.

Xem đáp án » 14/10/2022 117

Câu 14:

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ . Tìm số r>0 sao cho tồn tại điểm J nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r?

Xem đáp án » 14/10/2022 115

Câu 15:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $S A ⊥ (A B C D)$ và $A B = 2 A D = 2 C D = 2 a = \sqrt{2} S A$ . Thể tích khối chóp S.BCD là:

Xem đáp án » 14/10/2022 112

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2022 có đáp án

6 đề 4598 lượt thi Thi thử
Bộ 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2022 có đáp án

6 đề 3542 lượt thi Thi thử
Câu ước

2 đề 2979 lượt thi Thi thử
Thì hiện tại đơn

2 đề 2333 lượt thi Thi thử
Đề thi Đánh giá tư duy Tiếng Anh có đáp án

3 đề 2294 lượt thi Thi thử
Đọc hiểu chủ đề đời sống - Đề 1

2 đề 1989 lượt thi Thi thử
Tìm lỗi sai trong câu

2 đề 1701 lượt thi Thi thử
Đề thi Đánh giá tư duy Đọc hiểu, Toán học có đáp án

3 đề 1685 lượt thi Thi thử
Tế bào nhân sơ (Phần 1)

2 đề 1667 lượt thi Thi thử
Thì quá khứ hoàn thành

2 đề 1455 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »