Câu hỏi:

14/10/2022 68

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC. Điểm I thuộc đoạn SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng $\frac{7}{25}$ lần phần còn lại. Tính tỉ số $\frac{I A}{I S}$ ?

A. $\frac{5}{3}$

Đáp án chính xác

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{3}{2}$

D. $\frac{3}{5}$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả sử $S C \cap (I M N) = \{P\} \Rightarrow (I M N) \cap (S A C) = I P$

Ta có: $\{\begin{matrix} (I M N) \cap (S A C) = I P \\ (I M N) \cap (A B C D) = M N \\ (S A C) \cap (A B C D) = A C \end{matrix} \Rightarrow I P ∥ M N ∥ A C$
Trong (ABCD) gọi $\{E\} = M N \cap C D$ trong (SCD) gọi $Q = N P \cap S D$

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNI) là ngũ giác IMNPQ.

Gọi $V_{1} = V_{S . B M N P Q I}, V = V_{S . A B C D}$ theo bài ra ta có $V_{1} = \frac{7}{32} V$

Ta có $V_{1} = V_{S . B M N} + V_{S . I M N} + V_{S . I N P} + V_{S . I P Q}$

Đặt $\frac{S I}{S A} = x (0 < x < 1)$ áp dụng định lí Ta-lét ta có $\frac{S I}{S A} = \frac{S P}{S C} = x$

- Xét khối chóp S.BMN và S.ABCD:

+ Có cùng chiều cao (cùng bằng khoảng cách từ SS đến (ABCD)).

$S_{B M N} = \frac{1}{4} S_{A B C} = \frac{1}{8} S_{A B C}$ (do tam giác BMN và tam giác BAC đồng dạng theo tỉ số $\frac{1}{2}$ )

Do đó $V_{S . B M N} = \frac{1}{8} V_{S . A B C D} = \frac{1}{8} V$

- Xét khối chóp S.IMN và S.AMN:
$\frac{V_{S . I N P}}{V_{S . A N C}} = \frac{S I}{S A} . \frac{S P}{S C} = x^{2} \Rightarrow V_{S . I M N} = x^{2} . V_{S . A N C}$

Ta có $S_{A N C} = \frac{1}{2} S_{A B C} = \frac{1}{4} S_{A B C D} \Rightarrow V_{S . A N C} = \frac{1}{4} V \Rightarrow V_{S . I M N} = \frac{x^{2}}{4} V$

- Xét khối chóp S.IPQ và S.ACD: $\frac{V_{S . I P Q}}{V_{S . A C D}} = \frac{S I}{S A} . \frac{S P}{S C} . \frac{S Q}{S D}$

Ta có AMEC là hình bình hành nên $E C = A M = \frac{1}{2} C D \Rightarrow \frac{E C}{E D} = \frac{1}{3}$

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SCD với cát tuyến EPQ ta có:
$\frac{P S}{P C} . \frac{E C}{E D} . \frac{Q D}{Q S} = 1 \Rightarrow \frac{x}{1 - x} . \frac{1}{3} . \frac{Q D}{Q S} = 1$
$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{Q D}{Q S} = \frac{3 (1 - x)}{x} \Rightarrow \frac{S Q}{Q D} = \frac{x}{3 (1 - x)} \\ \Rightarrow \frac{S Q}{S Q + Q D} = \frac{x}{x + 3 (1 - x)} \\ \Rightarrow \frac{S Q}{S D} = \frac{x}{3 - 2 x} \end{array}$

Suy ra $\frac{V_{S . I P Q}}{V_{S . A C D}} = \frac{S I}{S A} . \frac{S P}{S C} . \frac{S Q}{S D} = x^{2} . \frac{x}{3 - 2 x} = \frac{x^{3}}{3 - 2 x}$
$\Rightarrow V_{S . I P Q} = \frac{x^{3}}{3 - 2 x} V_{S . A C D}$

Mà $S_{A C D} = \frac{1}{2} S_{A B C D} \Rightarrow V_{S . A C D} = \frac{1}{2} V \Rightarrow V_{S . I P Q} = \frac{x^{3}}{2 (3 - 2 x)} V$

Khi đó ta có:
$V_{1} = V_{S . B M N} + V_{S . I M N} + V_{S . I N P} + V_{S . I P Q}$
$\Rightarrow V_{1} = \frac{1}{8} V + \frac{x}{8} V + \frac{x^{2}}{4} V + \frac{x^{3}}{2 (3 - 2 x)} V$
$\Rightarrow V_{1} = (\frac{1}{8} + \frac{x}{8} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{3}}{2 (3 - 2 x)}) V = \frac{7}{32} v$
$\Rightarrow \frac{1}{8} + \frac{x}{8} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{3}}{2 (3 - 2 x)} = \frac{7}{32}$
$\Leftrightarrow \frac{1 + x + 2 x^{2}}{4} + \frac{x^{3}}{3 - 2 x} = \frac{7}{16}$
$\Leftrightarrow (1 + x + 2 x^{2}) . (12 - 8 x) + 16 x^{3} = 7 (3 - 2 x)$
$\Leftrightarrow 12 + 12 x + 24 x^{2} - 8 x - 8 x^{2} - 16 x^{3} + 16 x^{3} = 21 - 14 x$
$\Leftrightarrow 16 x^{2} + 18 x - 9 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{3}{8} (t m) \\ x = - \frac{3}{2} (k t m) \end{matrix}$

$\Rightarrow \frac{S I}{S A} = \frac{3}{8} \Rightarrow \frac{I S}{I A} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{I A}{I S} = \frac{5}{3}$
Đáp án cần chọn là: A

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là $16 c m^{2}$ , diện tích một mặt bên là $8 \sqrt{3} c m^{2}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Xem đáp án » 14/10/2022 121

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết $S B = a$ , SC hợp với (SAB) một góc 30⁰ và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 60⁰. Thể tích khối chóp là:

Xem đáp án » 14/10/2022 119

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 2, $∠ B A D = 60^{0}, S A = S C$ và tam giác SBD vuông cân tại S. Gọi E là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AE và cắt hai cạnh SB,SD lần lượt tại M và N. Thể tích lớn nhất $V_{0}$ của khối đa diện ABCDNEM bằng:

Xem đáp án » 14/10/2022 118

Câu 4:

Cho khối chóp có thể tích V, diện tích đáy là S và chiều cao h. Chọn công thức đúng:

Xem đáp án » 14/10/2022 116

Câu 5:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao h, góc ở đỉnh của mặt bên bằng 60⁰. Thể tích hình chóp là:

Xem đáp án » 14/10/2022 113

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,BC=2AB=2a. Cạnh bên SC vuông góc với đáy, góc giữa SA và đáy bằng 60⁰. Thể tích khối chóp đó bằng:

Xem đáp án » 14/10/2022 110

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng $\sqrt{6}$ . Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng $3 \sqrt{2}$ . Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.ABC

Xem đáp án » 14/10/2022 108

Câu 8:

Phép vị tự tỉ số k > 0 biến khối chóp có thể tích V thành khối chóp có thể tích V′. Khi đó:

Xem đáp án » 14/10/2022 106

Câu 9:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60⁰. Tính thể tích khối chóp S.ABC?

Xem đáp án » 14/10/2022 104

Câu 10:

Cho khối chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA,SB,SC lần lượt lấy các điểm A′,B′,C′. Khi đó:

Xem đáp án » 14/10/2022 102

Câu 11:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Xem đáp án » 14/10/2022 97

Câu 12:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 8. Ở bốn đỉnh tứ diện, nguời ta cắt đi các tứ diện đều bằng nhau có cạnh bằng x, biết khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích bằng $\frac{3}{4}$ thể tích tứ diện ABCD. Giá trị của x là:

Xem đáp án » 14/10/2022 97

Câu 13:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $S A ⊥ (A B C D)$ và $A B = 2 A D = 2 C D = 2 a = \sqrt{2} S A$ . Thể tích khối chóp S.BCD là:

Xem đáp án » 14/10/2022 93

Câu 14:

Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:

Xem đáp án » 14/10/2022 88

Câu 15:

Cho hình chóp S.ABCD có $SA ⊥ (A B C D)$ . Biết $A C = a \sqrt{2}$ , cạnh SC tạo với đáy một góc 60⁰ và diện tích tứ giác ABCD là $\frac{3 a^{2}}{2}$ . Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh SC. Tính thể tích khối chóp H.ABCD.

Xem đáp án » 14/10/2022 88

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2022 có đáp án

6 đề 3205 lượt thi Thi thử
Bộ 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2022 có đáp án

6 đề 2373 lượt thi Thi thử
Câu ước

2 đề 1943 lượt thi Thi thử
Thì hiện tại đơn

2 đề 1826 lượt thi Thi thử
Đọc hiểu chủ đề đời sống - Đề 1

2 đề 1777 lượt thi Thi thử
Đề thi Đánh giá tư duy Tiếng Anh có đáp án

3 đề 1590 lượt thi Thi thử
Tìm lỗi sai trong câu

2 đề 1340 lượt thi Thi thử
Tế bào nhân sơ (Phần 1)

2 đề 1314 lượt thi Thi thử
Đề thi Đánh giá tư duy Đọc hiểu, Toán học có đáp án

3 đề 1272 lượt thi Thi thử
Đại cương về dao động điều hòa

2 đề 1169 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »