Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD song song với BC, AD=2BC. Gọi E, F là hai điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB và AD sao cho 3ABAE+ADAF=5 (E,F không trùng với A), Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỉ số thể tích hai khối chóp S.BCDFE và S.ABCD là:

Đặt AEAB=x, AFAD=y (0<x, y≤1).Theo bài ra ta có: 3ABAE+ADAF=5 ⇒3x+1y=5 1 Vì hai khối chóp S.BCDFE và S.ABCD có cùng chiều cao nên k=VS.BCDFEVS.ABCD=SBCDFESABCD Đặt SABD=12BH.AD nên SAEF=12xy.BH.AD=xy.BH.BC=32BH.BC.23xy⇒SAEF=23xy.S⇒SBCDFE=SABCD−SAEF=S−23xy.S=S1−23xy⇒k=S.1−23xyS=1−23xy Theo (1) ta có: 3x+1y=5⇔y=x5x−3 Ta có 0<x5x−3≤1⇔x5x−3>0x−5x+35x−3≤0 ⇔5x−3>0(do x>0)3−4x≤0⇔x>35x≥34⇔x≥34 Khi đó ta có k=1−23xy=1−23x.x5x−3 =1−2x235x−3=15x−9−2x235x−3=fx Xét hàm số fx=−2x2+15x−935x−3 với 34≤x≤1 ta có: f'(x)=(−4x+15).3(5x−3)−(−2x2+15x−9).159(5x−3)2f'(x)=3(−20x2+87x−45)−(−30x2+225x−135)9(5x−3)2f'(x)=−30x2+36x9(5x−3)2=0⇔x=65ktmx=0ktm BBT: ⇒kmin=12, kmax=23 Vậy kmin+kmax=12+23=76 Đáp án cần chọn là: D

Câu hỏi:

22/07/2024 87

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD song song với BC, $A D = 2 B C$ . Gọi E, F là hai điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB và AD sao cho $\frac{3 A B}{A E} + \frac{A D}{A F} = 5$ (E,F không trùng với A), Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỉ số thể tích hai khối chóp S.BCDFE và S.ABCD là:

A. $\frac{5}{4}$

B. $\frac{4}{3}$

C. $\frac{17}{12}$

D. $\frac{7}{6}$

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt $\frac{A E}{A B} = x, \frac{A F}{A D} = y (0 < x, y \leq 1)$ .Theo bài ra ta có: $\frac{3 A B}{A E} + \frac{A D}{A F} = 5$
$\Rightarrow \frac{3}{x} + \frac{1}{y} = 5 (1)$

Vì hai khối chóp S.BCDFE và S.ABCD có cùng chiều cao nên

$k = \frac{V_{S . B C D F E}}{V_{S . A B C D}} = \frac{S_{B C D F E}}{S_{A B C D}}$

Đặt $S_{A B D} = \frac{1}{2} B H . A D$ nên
$S_{A E F} = \frac{1}{2} x y . B H . A D = x y . B H . B C = \frac{3}{2} B H . B C . \frac{2}{3} x y \Rightarrow S_{A E F} = \frac{2}{3} x y . S$
$\Rightarrow S_{B C D F E} = S_{A B C D} - S_{A E F} = S - \frac{2}{3} x y . S = S (1 - \frac{2}{3} x y)$
$\Rightarrow k = \frac{S . (1 - \frac{2}{3} x y)}{S} = 1 - \frac{2}{3} x y$

Theo (1) ta có: $\frac{3}{x} + \frac{1}{y} = 5 \Leftrightarrow y = \frac{x}{5 x - 3}$

Ta có $0 < \frac{x}{5 x - 3} \leq 1 \Leftrightarrow \{\begin{matrix} \frac{x}{5 x - 3} > 0 \\ \frac{x - 5 x + 3}{5 x - 3} \leq 0 \end{matrix}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 5 x - 3 > 0 (d o x > 0) \\ 3 - 4 x \leq 0 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x > \frac{3}{5} \\ x \geq \frac{3}{4} \end{matrix} \Leftrightarrow x \geq \frac{3}{4} \end{array}$

Khi đó ta có
$\begin{array}{l} k = 1 - \frac{2}{3} x y = 1 - \frac{2}{3} x . \frac{x}{5 x - 3} \\ = 1 - \frac{2 x^{2}}{3 (5 x - 3)} = \frac{15 x - 9 - 2 x^{2}}{3 (5 x - 3)} = f (x) \end{array}$

Xét hàm số $f (x) = \frac{- 2 x^{2} + 15 x - 9}{3 (5 x - 3)}$ với $\frac{3}{4} \leq x \leq 1$ ta có:
$f' (x) = \frac{(- 4 x + 15) .3 (5 x - 3) - (- 2 x^{2} + 15 x - 9) .15}{9 {(5 x - 3)}^{2}}$
$f' (x) = \frac{3 (- 20 x^{2} + 87 x - 45) - (- 30 x^{2} + 225 x - 135)}{9 {(5 x - 3)}^{2}}$
$f' (x) = \frac{- 30 x^{2} + 36 x}{9 {(5 x - 3)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{6}{5} (k t m) \\ x = 0 (k t m) \end{matrix}$

BBT:

$\Rightarrow k_{\min} = \frac{1}{2}, k_{\max} = \frac{2}{3}$

Vậy $k_{\min} + k_{\max} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{7}{6}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là $16 c m^{2}$ , diện tích một mặt bên là $8 \sqrt{3} c m^{2}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Xem đáp án » 14/10/2022 147

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 2, $∠ B A D = 60^{0}, S A = S C$ và tam giác SBD vuông cân tại S. Gọi E là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AE và cắt hai cạnh SB,SD lần lượt tại M và N. Thể tích lớn nhất $V_{0}$ của khối đa diện ABCDNEM bằng:

Xem đáp án » 14/10/2022 146

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết $S B = a$ , SC hợp với (SAB) một góc 30⁰ và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 60⁰. Thể tích khối chóp là:

Xem đáp án » 14/10/2022 145

Câu 4:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao h, góc ở đỉnh của mặt bên bằng 60⁰. Thể tích hình chóp là:

Xem đáp án » 14/10/2022 137

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,BC=2AB=2a. Cạnh bên SC vuông góc với đáy, góc giữa SA và đáy bằng 60⁰. Thể tích khối chóp đó bằng:

Xem đáp án » 14/10/2022 136

Câu 6:

Cho khối chóp có thể tích V, diện tích đáy là S và chiều cao h. Chọn công thức đúng:

Xem đáp án » 14/10/2022 134

Câu 7:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60⁰. Tính thể tích khối chóp S.ABC?

Xem đáp án » 14/10/2022 130

Câu 8:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng $\sqrt{6}$ . Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng $3 \sqrt{2}$ . Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.ABC

Xem đáp án » 14/10/2022 129

Câu 9:

Phép vị tự tỉ số k > 0 biến khối chóp có thể tích V thành khối chóp có thể tích V′. Khi đó:

Xem đáp án » 14/10/2022 123

Câu 10:

Cho khối chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA,SB,SC lần lượt lấy các điểm A′,B′,C′. Khi đó:

Xem đáp án » 14/10/2022 120

Câu 11:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 8. Ở bốn đỉnh tứ diện, nguời ta cắt đi các tứ diện đều bằng nhau có cạnh bằng x, biết khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích bằng $\frac{3}{4}$ thể tích tứ diện ABCD. Giá trị của x là:

Xem đáp án » 14/10/2022 118

Câu 12:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Xem đáp án » 14/10/2022 116

Câu 13:

Cho hình chóp S.ABCD có $SA ⊥ (A B C D)$ . Biết $A C = a \sqrt{2}$ , cạnh SC tạo với đáy một góc 60⁰ và diện tích tứ giác ABCD là $\frac{3 a^{2}}{2}$ . Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh SC. Tính thể tích khối chóp H.ABCD.

Xem đáp án » 14/10/2022 116

Câu 14:

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ . Tìm số r>0 sao cho tồn tại điểm J nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r?

Xem đáp án » 14/10/2022 113

Câu 15:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $S A ⊥ (A B C D)$ và $A B = 2 A D = 2 C D = 2 a = \sqrt{2} S A$ . Thể tích khối chóp S.BCD là:

Xem đáp án » 14/10/2022 110

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2022 có đáp án

6 đề 4402 lượt thi Thi thử
Bộ 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2022 có đáp án

6 đề 3359 lượt thi Thi thử
Câu ước

2 đề 2586 lượt thi Thi thử
Đề thi Đánh giá tư duy Tiếng Anh có đáp án

3 đề 2186 lượt thi Thi thử
Đọc hiểu chủ đề đời sống - Đề 1

2 đề 1972 lượt thi Thi thử
Thì hiện tại đơn

2 đề 1948 lượt thi Thi thử
Tế bào nhân sơ (Phần 1)

2 đề 1656 lượt thi Thi thử
Tìm lỗi sai trong câu

2 đề 1643 lượt thi Thi thử
Đề thi Đánh giá tư duy Đọc hiểu, Toán học có đáp án

3 đề 1622 lượt thi Thi thử
Đọc hiểu chủ đề đời sống - Đề 2

2 đề 1402 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

Các nhận định dưới đây là đúng hay sai?

Phát biểu	ĐÚNG	SAI
Khả năng đâm xuyên của các tia phóng xạ có thể sắp xếp theo thứ tự là: γ < β < α.	¡	¡
Khả năng gây ion hóa của các tia phóng xạ có thể sắp xếp theo thứ tự là: γ < β < α.	¡	¡
Không phải phản ứng hạt nhân nào cũng tạo ra phóng xạ γ.	¡	¡

1 25/11/2024 Xem đáp án

Xem thêm »