Cho hàm số f(x) liên tục trên tập R thỏa mãn $\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}=2\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+1}$ và f(x) > -1, f(0)=0. Tính $\mathrm{f}\left(\sqrt{3}\right)$ .

Cho tích phân ${\int }_0^{\mathrm{\pi }/4}\frac{\ln \left(\sin x+2\cos x\right)}{{\cos }^{2}x}dx$=$\mathrm{a} \ln 3+\mathrm{b} \ln 2+\mathrm{c\pi }$ (với a,b,c là các số hữu tỉ). Giá trị biểu thức abc bằng.

Cho hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} \mathrm{sinx}$. Họ nguyên hàm của hàm số trên là

Họ nguyên hàm của hàm số y= 3x ( x + cos x) là

Giá trị của ${\int }_0^1\left(2019x^{2018}-1\right)dx$ bằng

Trong mặt phẳng, cho đường elip (E) có độ dài trục lớn là AA’=10, độ dài trục nhỏ là BB’=6, đường tròn tâm O có đường kính là BB’ (như hình vẽ bên dưới). Tính thể tích V của khối tròn xoay có được bằng cách cho miền hình hình phẳng giới hạn bởi đường elip và được tròn (được tô đậm trên hình vẽ) quay xung quanh trục AA’

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có ${\int }_0^{3}f\left(x\right)dx=8$ và ${\int }_0^{5}f\left(x\right)dx=4$.Tính ${\int }_{-1}^{1}f\left(\left|4\mathrm{x}-1\right|\right)dx$

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $\mathrm{y}=\ln \mathrm{x}$, trục hoành và đường thẳng x=e. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành.

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [0;4] và thỏa mãn điều kiện $4\mathrm{xf}\left({\mathrm{x}}^2\right)+6\mathrm{f}\left(2\mathrm{x}\right)=\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}$. Tính ${\int }_0^{4}f\left(x\right)dx$ .

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1$, y=0, x=0, x=2. Gọi V là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\sqrt{-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+4\mathrm{x}}$, trục hoành và hai đường thẳng x=1, x=2; là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình quanh trục hoành. Khẳng định nào sau đây đúng?

Họ nguyên hàm của hàm số $\mathrm{y}=\frac{\left(2{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}\right)\mathrm{lnx}+1}{\mathrm{x}}$ là

Cho hàm số y = f(x)

Biết hàm số đã cho thỏa mãn hệ thức$\int f\left(x\right)\sin xdx=-f\left(x\right)\cos x+\int {\mathrm{\pi }}^2\mathrm{cosxdx}$. Hỏi hàm số y = f(x) là hàm số nào trong các hàm số sau?

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai trên $\left(0;+\infty \right)$ thỏa mãn $2\mathrm{xf}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{cosx}$, $\forall \mathrm{x}\in \left(0;+\infty \right)$; $\mathrm{f}\left(4\mathrm{\pi }\right)=0$. Giá trị biểu thức $\mathrm{f}\left(9\mathrm{\pi }\right)=0$ là:

Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường , y=0, x=1 và x=a (a>1) quay xung quanh trục Ox

Biết ${\int }_0^{\mathrm{\pi }/4}\frac{x}{1+\cos 2x}dx=a\mathrm{\pi }+\mathrm{bln}2$, với a,b là các số hữu tỉ. Tính T=16a-8b