Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(1;2;-3), B(-4;2;5), M(a;2;1) với a là tham số. Biết rằng điểm M thuộc đường thẳng  AB, tìm a.

Xác định m để bốn điểm A(1;1;4), B(5;-1;3), C(2;2;m) và D(3;1;5) tạo thành tứ diện.

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P)3x+y-4z-12=0 cắt trục Ox tại A, cắt trục Oz tại B. Chu vi tam giác OBA bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-1;2;5), B(3;-1;0), C(-4;0;-2). Gọi I là điểm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho biểu thức $\left|\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}\right|$  đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P): 4x+3y+2=0.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y-z-3=0 và hai điểm M(1;1;1), N(-3;-3;-3). Mặt cầu (S) đi qua hai điểm M.N và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm Q. Biết rằng Q luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính R của đường tròn đó.

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây song song với (Oxz)?

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x+y+z-3=0 và ba điểm A(3;1;1), B(7;3;9) và C(2;2;2). Điểm M(a;b;c) trên (P) sao cho $\left|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}\right|$  đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 2a-10b+c.

Trong không gian cho 3 điểm A(1;0;0), B(0;0;1) và C(2;1;1). Diện tích của tam giác ABC là

Cho mặt cầu (S): $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+10=0$ Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: $\frac{x}{5} = \frac{y+1}{-3} = \frac{z-4}{1}$ Hỏi đường thẳng d song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng có phương trình dưới đây?

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) $x^2+y^2+z^2=8$ và điểm $M\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$  Xét đường thẳng $∆$  thay đổi qua điểm M, cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B. Diện tích lớn nhất của tam giác OAB bằng

Cho điểm M(2;1;1), mặt phẳng ($\alpha$): x+y+z-4=0, mặt cầu (S) $x^2+y^2+z^2-6x-6y-8z+28=0$. Xét đường thẳng $∆$  đi qua M, nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  và cắt (S) theo một đoạn có độ dài nhỏ nhất. Tính độ dài nhỏ nhất đó.

Trong không tọa độ Oxyz, xét mặt phẳng ($\alpha$) đi qua điểm A(2;1;3) đồng thời cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại M,N,P sao cho tứ diện OMNP có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường thẳng $d: \left\{\begin{array}{l}x = 2+t\\ y = 1-t\\ z = 4+t\end{array}\right.$  với mặt phẳng  có tọa độ là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ($\alpha$): x-2y=0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho ba điểm A(0;-2;-1), B(-2;-4;3); C(1;3;-1) và mặt phẳng (P): x+y-2z-3=0. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right|$  đạt giá trị nhỏ nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;-2;3), B(3;2;-1), C(0;2;1) và mặt phẳng (P): x+y-2z-6=0 Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc (P) sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right|$  đạt giá trị nhỏ nhất. Tính S=a+b+c