Cho hàm số f(x)>0 có đạo hàm liên tục trên$\left[0;\mathrm{\pi }/3\right]$, đồng thời thỏa mãn f'(0) = 0; f(0) = 1 và $\mathrm{f}\text{'}\text{'}\left(\mathrm{x}\right).\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+{\left[\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{cosx}}\right]}^2={\left[\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\right]}^2$ .Tính $\mathrm{T}=\mathrm{f}\left(\mathrm{\pi }/3\right)$

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [1/3; 3] thỏa mãn $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{x}.\mathrm{f}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)={\mathrm{x}}^3-\mathrm{x}$. Giá trị tích phân $\mathrm{I}={\int }_1^3\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}\mathrm{dx}$ bằng

Cho hàm số f(x) thỏa mãn ${\left[\mathrm{xf}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\right]}^2+1=x^2\left[1-f\left(x\right).f"\left(x\right)\right]$ với mọi x dương. Biết f(1) = f'(1) = 1 . Giá trị ${\mathrm{f}}^2\left(2\right)$ bằng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.

Giá trị của biểu thức $\mathrm{I}={\int }_0^4\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}-2\right)\mathrm{dx}+{\int }_0^2\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}+2\right)\mathrm{dx}$ bằng

Cho hai hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{ax}}^4+{\mathrm{bx}}^3+{\mathrm{cx}}^2+\mathrm{dx}+\mathrm{e}$ và $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{mx}}^3+{\mathrm{nx}}^2+\mathrm{px}+1$ với a, b, c, d, e, m, n, plà các số thực. Đồ thị của hai hàm số y = f'(x), y = g'(x) như hình vẽ bên. Tổng các nghiệm của phương trình f(x) + q= g(x) + e bằng

Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên $\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]$ thỏa mãn

${\int }_{-1/2}^{1/2}\left[f^2\left(x\right)-2f\left(x\right).\left(3-x\right)\right]dx=-\frac{109}{12}$. Tính ${\int }_0^{1/2}\frac{f\left(x\right)}{x^2-1}dx$.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai f''(x) liên tục trên R và có đồ thị hàm số f(x) như hình vẽ bên. Biết rằng hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x = 1 đường thẳng trong hình vẽ bên là tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ x = 2 . Tích phân ${\int }_0^{\ln 3}{e}^{x}f"\left(\frac{e^x+1}{2}\right)dx$ bằng

Cho f(x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn $\mathrm{f}\left(2\right)=16$, ${\int }_0^{1}f\left(2x\right)dx=6$. Tính $\mathrm{I}={\int }_0^2\mathrm{x}.\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$ ta được kết quả

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên $\left[0;\mathrm{\pi }\right]$. Biết $\mathrm{f}\left(0\right)=2\mathrm{e}$ và f(x) luôn thỏa mãn đẳng thức $\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{sinx}.\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{cosx}.{\mathrm{e}}^{\mathrm{cosx}}$, $\forall \mathrm{x}\in \left[0;\mathrm{\pi }\right]$. Tính $\mathrm{I}={\int }_0^{\mathrm{\pi }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$ (làm tròn đến phần trăm).

Cho $\mathrm{I}={\int }_1^2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=2$. Giá trị của $\mathrm{J}={\int }_0^{\mathrm{\pi }/2}\frac{\mathrm{sinx}.\mathrm{f}\left(\sqrt{3\mathrm{cosx}+1}\right)}{\sqrt{3\mathrm{cosx}+1}}\mathrm{dx}$ bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ và f(x)>0,$\forall \mathrm{x}\in$$\left(0;+\infty \right)$ thỏa mãn $\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=-\mathrm{x}.{\mathrm{f}}^2\left(\mathrm{x}\right)$ $\forall \mathrm{x}\in$$\left(0;+\infty \right)$, biết $\mathrm{f}\left(1\right)=\frac{2}{\mathrm{a}+3}$ và $\mathrm{f}\left(2\right)>\frac{1}{4}$. Tổng tất cả các giá trị nguyên của a thỏa mãn là

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn $3{\mathrm{f}}^2\left(\mathrm{x}\right).\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)-4{\mathrm{xe}}^{-{\mathrm{f}}^3\left(\mathrm{x}\right)+2{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}=1=\mathrm{f}\left(0\right)$.Biết rằng $\mathrm{I}={\int }_0^{\frac{-1+\sqrt{4089}}{4}}\left(4\mathrm{x}+1\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ là phân số tối giản. Tính T = a-3b

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x)>0, $\forall \mathrm{x}\in \left[1;2\right]$ thỏa mãn f(1) = 1, f(2) = 22/14 và ${\int }_1^2\frac{{\left(f\text{'}\left(x\right)\right)}^3}{x^4}dx=\frac{7}{375}$. Tích phân ${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx$ bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên đoạn [1;e] thỏa mãn $\mathrm{f}\left(1\right)=\frac{1}{2}$ và $\mathrm{x}.\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{xf}}^2\left(\mathrm{x}\right)-3\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\frac{1}{\mathrm{x}}$, $\forall \mathrm{x}\in \left[1;\mathrm{e}\right]$. Giá trị của f(e) bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên [0;1]. Biết ${\int }_0^1\left[x.f\text{'}\left(1-x\right)-f\left(x\right)\right]dx=\frac{1}{2}$. Tính f(0).

Cho hàm số f(x) liên tục có đồ thị như hình bên dưới

Biết $\mathrm{F}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\forall \mathrm{x}\in \left[-5;2\right]$ và ${\int }_{-3}^{-1}f\left(x\right)dx=\frac{14}{3}$. Tính $\mathrm{F}\left(2\right)-\mathrm{F}\left(-5\right)$.