Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là \(2\left( {x - 1} \right){e^x} = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình \(\left( H \right)\) xung quanh trục Ox là:
\(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left[ {2\left( {x - 1} \right){e^x}} \right]}^2}dx} = 4\pi \int\limits_0^1 {{{\left( {x - 1} \right)}^2}{e^{2x}}dx} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {\left( {x - 1} \right)^2}\\dv = {e^{2x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2\left( {x - 1} \right)dx\\v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}\end{array} \right.\)
Suy ra \(V = 4\pi {\left( {x - 1} \right)^2}\frac{{{e^{2x}}}}{2}\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. - 4\pi \int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right){e^{2x}}dx} = - 2\pi - 4\pi \int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right){e^{2x}}dx} \)
Gọi \({V_1} = 4\pi \int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right){e^{2x}}dx} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x - 1\\dv = {e^{2x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}\end{array} \right.\)
Suy ra \({V_1} = 4\pi \left( {x - 1} \right)\frac{{{e^{2x}}}}{2}\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. - 2\pi \int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx} = 2\pi - \pi {e^{2x}}\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. = 2\pi - \pi {e^2} + \pi = 3\pi - \pi {e^2}\)
\(V = - 2\pi - {V_1} = - 2\pi - \left( {3\pi - \pi {e^2}} \right) = \pi \left( {{e^2} - 5} \right)\)
Chọn D.
Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x \), \(y = 0\) và \(x = 4\) quanh trục Ox. Đường thẳng \(x = a\)\(\left( {0 < a < 4} \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \) tại M như hình vẽ bên dưới:
Gọi \({V_1}\) là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết rằng \(V = 2{V_1}\). Khi đó
Để chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên. Biết rằng \(OO' = 5\,cm\), \(OA = 10\,cm\), \(OB = 20\,cm\), đường cong AB là một phần của parabol có đỉnh là điểm A. Thể tích của chiếc mũ bằng
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị trên \(\left[ { - 2;6} \right]\) như hình vẽ bên. Biết các miền A, B, \(x = 2\) có diện tích lần lượt là 32; 2; 3.
Tích phân \(\int\limits_{ - 2}^2 {\left[ {f\left( {2x + 2} \right) + 1} \right]dx} \) bằng
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 3\), \(x = 2\) (như hình vẽ bên). Đặt \(a = \int\limits_{ - 3}^1 {f\left( x \right)dx} \), \(b = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \).
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
