Tính tích phân sau I=∫π6π34sin2x+1cosx+3.sinxdx

Giả sử: 4sin2x+1=Asinx+Bcosxcosx+3sinx+Csin2x+cos2x⇔4sin2x+1=A3+Csin2x+A+B3sinxcosx+B+Ccos2xĐồng nhất hai vế ta có: A3+C=4A+B3=0B+C=1⇒A=3B=−1C=2.⇒I=∫π6π33sinx−cosxcosx+3sinx+2cosx+3sinxdx=∫π6π33sinx−cosxdx+2∫π6π3dxcosx+3sinx=−3cosx−sinxπ6π3+J=2−3+JJ=2∫π6π3dxcosx+3sinx=∫π6π3dxsinx+π6=∫π6π3dx2sinx2+π12cosx2+π12=12∫π6π3dxtanx2+π12cos2x2+π12=∫π6π3dtanx2+π12tanx2+π12=lntanx2+π12π6π3=12ln3⇒I=2−3+12ln3.

Câu hỏi:

24/06/2023 46

Tính tích phân sau $I = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{4 \sin^{2} x + 1}{\cos x + \sqrt{3} . \sin x} d x$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả sử: $4 \sin^{2} x + 1 = (A \sin x + B \cos x) (\cos x + \sqrt{3} \sin x) + C (\sin^{2} x + \cos^{2} x)$
$\Leftrightarrow 4 \sin^{2} x + 1 = (A \sqrt{3} + C) \sin^{2} x + (A + B \sqrt{3}) \sin x \cos x + (B + C) \cos^{2} x$
Đồng nhất hai vế ta có: $\{\begin{cases} A \sqrt{3} + C = 4 \\ A + B \sqrt{3} = 0 \\ B + C = 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} A = \sqrt{3} \\ B = - 1 \\ C = 2 \end{cases}$ .
$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{(\sqrt{3} \sin x - \cos x) (\cos x + \sqrt{3} \sin x) + 2}{\cos x + \sqrt{3} \sin x} d x \\ = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} (\sqrt{3} \sin x - \cos x) d x + 2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{\cos x + \sqrt{3} \sin x} = {(- \sqrt{3} \cos x - \sin x)|}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} + J = 2 - \sqrt{3} + J \\ J = 2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{\cos x + \sqrt{3} \sin x} = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{\sin (x + \frac{π}{6})} = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{2 \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{12}) \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})} \\ = \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12}) \cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})} = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{d [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})]}{\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})} = {\ln |\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})||}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} = \frac{1}{2} \ln 3 \\ \Rightarrow I = 2 - \sqrt{3} + \frac{1}{2} \ln 3. \end{array}$

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tích phân $I = \int_{0}^{2} 2 x d x$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án » 23/06/2023 71

Câu 2:

Cho tam giác ABC có $\hat{A B C} = 45 °; \hat{A C B} = 30 °$ và $A C = 2 a$ . Tính thể tích khối tròn xoay nhận được khi quay đường gấp khúc BAC quanh trục BC?

Xem đáp án » 24/06/2023 71

Câu 3:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $A (- 1; 2; 3)$ và chứa trục Oz là $a x + b y = 0$ . Tính tỉ số $T = \frac{a}{b}$ .

Xem đáp án » 24/06/2023 67

Câu 4:

Cho $\int_{0}^{3} \frac{x}{4 + 2 \sqrt{x + 1}} d x = \frac{a}{3} + b \ln 2 + c \ln 3$ với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c bằng

Xem đáp án » 24/06/2023 63

Câu 5:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 m x + 2 (m - 3) y + 2 z + 3 m^{2} + 3 = 0$ là phương trình mặt cầu:

Xem đáp án » 24/06/2023 63

Câu 6:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): $2 x + y - 2 z + m - 1 = 0$ và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 6 z + 5 = 0$ . Để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu thì tổng các giá trị của tham số là:

Xem đáp án » 24/06/2023 62

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\vec{O M} = 2 \vec{i} + 3 \vec{k}$ . Tọa độ điểm M là

Xem đáp án » 23/06/2023 59

Câu 8:

Cho $\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin^{n} x . \cos x d x = \frac{1}{160}$ (với $n \in ℕ *$ ). Tìm

Xem đáp án » 24/06/2023 58

Câu 9:

Cho f(x) là hàm số liên tục trên $[a; b]$ và F(x) là một nguyên hàm của f(x). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xem đáp án » 23/06/2023 58

Câu 10:

Cho $A (0; 2; - 2), B (- 3; 1; - 1), C (4; 3; 0), D (1; 2; m) .$ Tìm m để 4 điểm A, B, C đồng phẳng.

Xem đáp án » 24/06/2023 54

Câu 11:

Tìm họ nguyên hàm $F (x) = \int x^{3} d x$ .

Xem đáp án » 23/06/2023 54

Câu 12:

Cho $\int_{1}^{2} f (x) d x = - 3$ ; $\int_{1}^{2} g (x) d x = 5$ .

Khi đó giá trị của biểu thức $\int_{1}^{2} [3 g (x) - 2 f (x)] d x$ là

Xem đáp án » 23/06/2023 53

Câu 13:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = x (x + \frac{1}{x})$ là

Xem đáp án » 23/06/2023 52

Câu 14:

Tính $S = \int_{0}^{1} \frac{2 x^{3} + x^{2} . e^{x} + 6 x + 3. e^{x} + \sqrt{3}}{x^{2} + 3} d x$

Xem đáp án » 24/06/2023 52

Câu 15:

Khẳng định nào sau đây sai?

Xem đáp án » 23/06/2023 51

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

10 đề 35875 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản

6 đề 35139 lượt thi Thi thử
Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải

3 đề 32304 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao

11 đề 22490 lượt thi Thi thử
Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải

5 đề 20668 lượt thi Thi thử
70 câu trắc nghiệm Khối đa diện cơ bản

6 đề 17924 lượt thi Thi thử
Đề thi thử Hình học không gian trong đề thi Đại học 2017 có lời giải

23 đề 17228 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit nâng cao

9 đề 16884 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân nâng cao

6 đề 12411 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit cơ bản

9 đề 12165 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »