Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):\left(m^2+1\right)x-\left(2m^2-2m+1\right)y+\left(4m+2\right)z-m^2+2m=0$luôn chứa một đường thẳng $∆$ cố định khi m thay đổi. Đường thẳng d đi qua $M\left(1;-1;1\right)$  vuông góc với $∆$ và cách O một khoảng lớn nhất có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(-1;b;c\right)$ . Giá trị của $T=b+c$  bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=9$  và điểm $M\left(1;3;-1\right)$ . Biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn $\left(C\right)$  có tâm $J\left(a;b;c\right)$ .

Giá trị $2a+b+c$  bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):2\left(m^2+m+2\right)x+\left(m^2-1\right)y+\left(m+2\right)z+m^2+m+1=0$

 luôn chứa đường thẳng $∆$ cố định khi m thay đổi. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến $∆$ là?

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-2}{-1}$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình $x^2+y^2+z^2-4x+2my-2\left(m+1\right)z+m^2+2m+8=0$  là phương trình của một mặt cầu $\left(S\right)$  sao cho có duy nhất một mặt phẳng chứa $∆$ và cắt $\left(S\right)$  theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1?

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-3}{1}$  và mặt phẳng $\left(\alpha \right):x-y+2z-5=0$ , mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=\frac{14}{3}$  và đường thẳng d có phương trình $\frac{x-4}{3}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-4}{2}$ . Gọi $A\left(x_0;y_0;z_0\right),x_0>0$ là điểm nằm trên đường thẳng d sao cho từ A kẻ được ba tiếp tuyến đến mặt cầu (S) có các tiếp điểm $B,C,D$  sao cho ABCD là tứ diện đều.

Giá trị của biểu thức $P=x_0+y_0+z_0$  là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm $M\left(6;0;0\right),N\left(0;6;0\right),P\left(0;0;6\right)$ . Hai mặt cầu có phương trình $\left(S_1\right):x^2+y^2+z^2-2x-2y+1=0$  và $\left(S_2\right):x^2+y^2+z^2-8x+2y+2z+1=0$  cắt nhau theo đường tròn $\left(C\right)$ . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa $\left(C\right)$  và tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,NP,PM$ ? 

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2,1,3), B(6,5,5). Gọi (S) là mặt cầu đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rằng $\left(P\right):2x+by+cz+d=0$  với $b,c,d\in \mathbb{Z}$ .

Tính $S=b+c+d$ .

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0,0,-2) và đường thẳng $∆$ có phương trình là $\frac{x+2}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+3}{2}$ .

Phương trình mặt cầu tâm A, cắt $∆$ tại hai điểm A và B sao cho $BC=8$  là

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left(P\right):x+2y-z-1=0,\left(Q\right):2x+y-z+2=0$

và hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{2},{\Delta }_2:\frac{x}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{2}$ .

Đường thẳng $∆$  song song với hai mặt phẳng $\left(P\right),\left(Q\right)$  và cắt ${\Delta }_1,{\Delta }_2$  tương ứng tại $H,K$ . Độ dài đoạn HK bằng

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3},{\Delta }_2:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P,Q,R lần lượt di động trên ba trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$  (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho $\frac{1}{O{P}^2}+\frac{1}{O{Q}^2}+\frac{1}{O{R}^2}=\frac{1}{8}$ . Biết mặt phẳng $\left(PQR\right)$  luôn tiếp xúc với mặt cầu $\left(S\right)$  cố định. Đường thẳng $\left(d\right)$  thay đổi nhưng luôn đi qua $M\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$  và cắt $\left(S\right)$  tại hai điểm $A,B$  phân biệt. Diện tích lớn nhất của $\Delta AOB$  là

Cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-2}{2}$ . Phương trình mặt cầu tâm $I\left(1;2;-1\right)$  cắt d tại các điểm A,B sao cho $AB=2\sqrt{3}$  là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-1}$  và mặt phẳng $\left(P\right):x+my+\left(m^2-1\right)z-7=0$ với m là tham số thực. Tìm m sao cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).

Tọa độ giao điểm M của đường thẳng $d:\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}$  và mặt phẳng $\left(P\right):3x+5y-z-2=0$  là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

$d:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+3t\\ z=3-t\end{array}\right.$ và $d^{\text{'}}:\left\{\begin{array}{l}x=2-2t^{\text{'}}\\ y=-2+t^{\text{'}}\\ z=1+3t^{\text{'}}\end{array}\right.$

Tìm tọa độ giao điểm M của d và d'.