Số giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) để bất phương trình \(4{\sin ^2}x - 4\cos x \le 4{m^2} - 4m + 5\)nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) là

Lời giải

Chọn A

\(f\left( x \right) = 4{\sin ^2}x - 4\cos x = - 4{\cos ^2}x - 4\cos x + 4\)

Đặt \(t = c{\rm{os}}x\) ,\(x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]\)

\(f\left( t \right) = - 4{t^2} - 4t + 4\)\(f'\left( t \right) = - 8t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{2}\)

Bảng biến thiên

\(t\)	\( - 1\)		\( - \frac{1}{2}\)		\(1\)
\(f'\left( t \right)\)	|	\( + \)	\(0\)	\( - \)	|
\(f\left( t \right)\)			\(5\)
	\(4\)				\( - 4\)

Khi đó :

\(4{m^2} - 4m + 5 \ge f\left( t \right)\forall t \in \left[ { - 1;1} \right]\)\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 5 \ge 5\)\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m \ge 0\)\( \Leftrightarrow m \in \left[ { - 10;0} \right] \cup \left[ {1;10} \right]\)

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên có 21 giá trị thỏa mãn .