Cho bất phương trình m1−x+121−x2≥16x+3m1+x+2m+15. Tìm các giá trị nguyên của tham số m∈−9 ; 9 để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x∈−1 ; 1.

Bpt: m1−x+121−x2≥16x+3m1+x+2m+15m1−x−31+x−2≥28x−61−x2+15 (1). Đặt t=1−x−31+x với x∈−1 ; 1.t'=−121−x−321+x<0 ∀x∈−1 ; 1.Suy ra t nghịch biến trên −1 ; 1.Nên t1≤t≤t−1 <=> −32≤t≤2 Ta có t2=8x+10−61−x2 <=> 2t2−5=28x−61−x2+15.Khi đó (1) trở thành: mt−2≥2t2−5 với t∈−32 ; 2. <=> m≤2t2−5t−2(2)với t∈−32 ; 2vì t∈−32 ; 2nên t−2<0(2) với (vì nên ). Xét hàm số ft=2t2−5t−2 trên đoạn −32 ; 2.f't=4tt−2−2t2−5t−22=2t2−8t+5t−22.f't=0 <=> t=4+62(loại)t=4−62 f(−32)=62−93214≈−4,97;f(2)=2+22≈1,7;f4−62=8−26≈3,1(1) nghiệm đúng với mọi x∈−1 ; 1 <=> (2) nghiệm đúng với mọi t∈−32 ; 2 <=> m≤min−32 ;2ft=f−32=62−93214≈−4,97Kết hợp với điều kiện bài toán ta có: m∈ℤm∈−9 ; 9m≤62−93214≈−4,97 <=> m∈−9 ; −8 ; −7 ; −6 ; −5.Vậy m∈−9 ; −8 ; −7 ; −6 ; −5.

Câu hỏi:

27/06/2023 31

Cho bất phương trình $m \sqrt{1 - x} + 12 \sqrt{1 - x^{2}} \geq 16 x + 3 m \sqrt{1 + x} + 2 m + 15$ . Tìm các giá trị nguyên của tham số $m \in [- 9; 9]$ để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x \in [- 1; 1]$ .

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Bpt: $m \sqrt{1 - x} + 12 \sqrt{1 - x^{2}} \geq 16 x + 3 m \sqrt{1 + x} + 2 m + 15$
$m (\sqrt{1 - x} - 3 \sqrt{1 + x} - 2) \geq 2 (8 x - 6 \sqrt{1 - x^{2}}) + 15$ (1).
 Đặt $t = \sqrt{1 - x} - 3 \sqrt{1 + x}$ với $x \in [- 1; 1]$ .
$t^{'} = - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}} - \frac{3}{2 \sqrt{1 + x}} < 0 \forall x \in (- 1; 1)$ .
Suy ra t nghịch biến trên $[- 1; 1]$ .
Nên $t (1) \leq t \leq t (- 1)$ <=> $- 3 \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$
 Ta có $t^{2} = 8 x + 10 - 6 \sqrt{1 - x^{2}}$ <=> $2 t^{2} - 5 = 2 (8 x - 6 \sqrt{1 - x^{2}}) + 15$ .
Khi đó (1) trở thành: $m (t - 2) \geq 2 t^{2} - 5$ với $t \in [- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]$ .

<=> $m \leq \frac{2 t^{2} - 5}{t - 2}$ (2)với $t \in [- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]$ vì $t \in [- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]$ nên $(t - 2) < 0$
(2) với (vì nên ).
 Xét hàm số $f (t) = \frac{2 t^{2} - 5}{t - 2}$ trên đoạn $[- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]$ .
$f^{'} (t) = \frac{4 t (t - 2) - (2 t^{2} - 5)}{{(t - 2)}^{2}} = \frac{2 t^{2} - 8 t + 5}{{(t - 2)}^{2}}$ .

$f^{'} (t) = 0$ <=> $[\begin{array}{l} t = \frac{4 + \sqrt{6}}{2} (l o ạ i) \\ t = \frac{4 - \sqrt{6}}{2} \end{array}$

$f (- 3 \sqrt{2}) = \frac{62 - 93 \sqrt{2}}{14} \approx - 4, 97$ ; $f (\sqrt{2}) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} \approx 1, 7$ ; $f (\frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = 8 - 2 \sqrt{6} \approx 3, 1$
(1) nghiệm đúng với mọi $x \in [- 1; 1]$ <=> (2) nghiệm đúng với mọi $t \in [- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]$

<=> $m \leq \min_{[- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]} f (t) = f (- 3 \sqrt{2}) = \frac{62 - 93 \sqrt{2}}{14} \approx - 4, 97$
Kết hợp với điều kiện bài toán ta có: $\{\begin{cases} m \in ℤ \\ m \in [- 9; 9] \\ m \leq \frac{62 - 93 \sqrt{2}}{14} \approx - 4, 97 \end{cases}$

<=> $m \in \{- 9; - 8; - 7; - 6; - 5\}$ .
Vậy $m \in \{- 9; - 8; - 7; - 6; - 5\}$ .

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước 3,4,5. Thể tích của khối hộp đã cho bằng?

Xem đáp án » 26/06/2023 43

Câu 2:

Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x^{2} - 1}$ là

Xem đáp án » 27/06/2023 41

Câu 3:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + m}{x - 1}$ ( m là tham số) thỏa mãn $\max_{[2; 5]} y = 6.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xem đáp án » 26/06/2023 41

Câu 4:

Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy là 6 cm và cạnh bên 9 cm

Xem đáp án » 27/06/2023 40

Câu 5:

Số cạnh của khối đa diện 20 mặt đều là:

Xem đáp án » 26/06/2023 40

Câu 6:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như sau. Hàm số $g (x) = f (x + 1)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Xem đáp án » 26/06/2023 40

Câu 7:

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = x (x + 1) {(x - 4)}^{3}, \forall x \in ℝ$ . Số điểm cực đại của hàm số đã cho là

Xem đáp án » 26/06/2023 39

Câu 8:

Tâm đối xứng I của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x + 3}$ là

Xem đáp án » 26/06/2023 39

Câu 9:

Biết đồ thị hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có 2 điểm cực trị là $A (0; 2), B (2; - 14)$ . Khi đó bằng $a + b + c$ ?

Xem đáp án » 26/06/2023 39

Câu 10:

Hình tứ diện đều có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

Xem đáp án » 27/06/2023 38

Câu 11:

Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng 30(cm). Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh EF và GH cho đến khi AD và BC trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ hai đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất.

Xem đáp án » 27/06/2023 37

Câu 12:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết $S A ⊥ (A B C D)$ và $S A = a \sqrt{3}$ . Thể tích của khối chóp $S . A B C D$ bằng

Xem đáp án » 26/06/2023 36

Câu 13:

Cho hàm số $y = f (x)$ có $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = + \infty$ và $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = - \infty$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Xem đáp án » 26/06/2023 34

Câu 14:

Hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 1$ đồng biến trên khoảng nào dưới dây?

Xem đáp án » 26/06/2023 34

Câu 15:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = x^{4} - 10 x^{2} + 1$ trên đoạn $[- 3; 2]$ bằng

Xem đáp án » 26/06/2023 34

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

10 đề 35999 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản

6 đề 35404 lượt thi Thi thử
Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải

3 đề 32587 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao

11 đề 22566 lượt thi Thi thử
Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải

5 đề 20775 lượt thi Thi thử
70 câu trắc nghiệm Khối đa diện cơ bản

6 đề 18068 lượt thi Thi thử
Đề thi thử Hình học không gian trong đề thi Đại học 2017 có lời giải

23 đề 17496 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit nâng cao

9 đề 17000 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân nâng cao

6 đề 12634 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit cơ bản

9 đề 12315 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »