Cho các số thực \(a,\,b,\,x > 0\) và \(b,\,x \ne 1\) thỏa mãn \({\log _x}\frac{{a + 2b}}{3} = {\log _x}\sqrt a + {\log _x}\sqrt b \). Tính giá trị của biểu thức \(P = \left( {2{a^2} + 3ab + {b^2}} \right){\left( {a + 2b} \right)^{ - 2}}\) khi \(a > b\)
D. \(\frac{5}{4}\)
Giải bởi Vietjack
Đáp án D
Phương pháp:
\({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\,\,\,\left( {0 < a \ne 1;\,\,f\left( x \right) > 0;\,\,g\left( x \right) > 0} \right)\)
Tính tỉ số \(\frac{a}{b}\)
Cách giải:
\({\log _x}\frac{{a + 2b}}{3} = {\log _x}\sqrt a + {\log _x}\sqrt b \)
\( \Leftrightarrow {\log _x}\frac{{a + 2b}}{3} = {\log _x}\sqrt {ab} \)
\( \Leftrightarrow \frac{{a + 2b}}{3} = \sqrt {ab} \Leftrightarrow a + 2b = 3\sqrt {ab} \Leftrightarrow \frac{a}{b} - 3.\sqrt {\frac{a}{b}} + 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {\frac{a}{b}} = 1\\\sqrt {\frac{a}{b}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{a}{b} = 1\\\frac{a}{b} = 4\end{array} \right.\)
Do \(a > b > 0\) nên \(\frac{a}{b} = 4\)
\(P = \left( {2{a^2} + 3ab + {b^2}} \right){\left( {a + 2b} \right)^{ - 2}} = \frac{{2{a^2} + 3ab + {b^2}}}{{{{\left( {a + 2b} \right)}^2}}} = \frac{{2{a^2} + 3ab + {b^2}}}{{{a^2} + 4ab + 4{b^2}}} = \frac{{2{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2} + 2.\frac{a}{b} + 1}}{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2} + 4.\frac{a}{b} + 4}}\)
\(P = \frac{{{{2.4}^2} + 3.4 + 1}}{{{4^2} + 4.4 + 4}} = \frac{{45}}{{36}} = \frac{5}{4}\)
Tính tích các nghiệm của phương trình \({\log _2}x.{\log _4}x.{\log _8}x.{\log _{16}}x = \frac{{81}}{{24}}\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _4}\left( {{{2.5}^x}} \right) - 2 = m\) có nghiệm \(x \ge 1\)
Ông A vay ngân hàng 300 triệu đồng để mua nhà theo phương thức trả góp với lãi suất 0,5% mỗi tháng. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất ông hoàn nợ cho ngân hàng 4.500.000 đồng và chịu lãi số tiền chưa trả. Hỏi sau bao nhiêu tháng ông A sẽ trả hết số tiền vay?
Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{5x + 11}}{{\sqrt {3{x^2} + 2017} }}\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = {\left( {\frac{2}{\pi }} \right)^{{x^3} + 3m{x^2} + 3mx + 10}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Cho a, b là hai số dương khác 1. Đặt \({\log _a}b = m\). Tính theo m giá trị của biểu thức \(P = {\log _a}b - {\log _{\sqrt b }}{a^3}\)
Tính giá trị nhỏ nhất M của hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 2\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\)
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\log _x}125x + {\log _{24}}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x\)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 3 \), góc \(ASB = {60^0}\). Tính thể tích của khối nón đỉnh S có đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ
Hàm số \(y = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right){e^{2x}}\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng \(y = - mx\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - m + 2\) tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho \(AB = BC\).
Cho hàm số \(y = \frac{{3x - 4}}{{x + 1}}\). Khẳng định nào sau đây sai?
