Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một cái hộp dạng hình hộp đứng không nắp ( không nắp trên, các bề mặt là phẳng ), có đáy là một hình vuông. Tìm chiều cao của hộp để lượng vàng phải dùng để mạ là ít nhất, biết lớp mạ ở mọi nơi như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích hộp là 4$d{m}^3$.

Cho hình lăng trụ ABCA'B'C'   có đáy là tam giác đều cạnh a.  Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và $BC$  bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$ . Tính thể tích V   của khối lăng trụ .ABCA'B'C'

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Tồn tại khối lăng trụ đều là khối đa diện đều.

B. Tồn tại khối chóp tứ giác đều là khối đa diện đều.

C. Tồn tại khối tứ diện là khối đa diện đều.

D. Tồn tại khối hộp là khối đa diện đều.

Gọi $m_0$  là giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=x^4+2m{x}^2+4$  có ba điểm cực trị nằm trên các trục tọa độ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $AB=a\sqrt{2}$, $BC=3a$  . Góc giữa cạnh A'B và mặt đáy là 60$°$. Tính theo  thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$  .  

Gọi $m_1,m_2$  là hai giá trị thực của tham số m   để đồ thị hàm số  $y=\frac{x-1}{x^2-mx+m}$có đúng một tiệm cận đứng. Tính   $m_1+m_2.$

Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng $\frac{a\sqrt{21}}{6}$  . Tính theo a thể tích V của khối chóp SABC  .

Hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d,a\ne 0$  có thể có nhiều nhất mấy điểm cực trị.

Cho tứ diện ABCD có DA=DC=DB  , tam giác ABC vuông tại A. Chân đường cao của tứ diện xuất phát từ đỉnh D là điểm nào?

Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Cho hàm số $y=\frac{x^2+3}{x+1}.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?