Tìm m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - \left( {m - 1} \right){x^2} + m\) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 1.
D. \(m = 3\)
Đáp án D
Phương pháp:
+) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị.
+) Nhận xét tam giác tạo thành bởi 3 điểm cực trị là tam giác cân, tính diện tích tam giác cân đó.
Cách giải:
\(y = {x^4} - \left( {m - 1} \right){x^2} + m \Rightarrow y' = 4{x^3} - 2\left( {m - 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \frac{{m - 1}}{2}\end{array} \right.\)
Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì \(\frac{{m - 1}}{2} > 0 \Leftrightarrow m > 1\). Khi đó, giả sử tọa độ ba điểm cực trị là \(A\left( {0;m} \right),\,\,\,B\left( { - \sqrt {\frac{{m - 1}}{2}} ; - \frac{{{m^2} - 6m + 1}}{4}} \right),\,\,\,C\left( {\sqrt {\frac{{m - 1}}{2}} ; - \frac{{{m^2} - 6m + 1}}{4}} \right)\)
Dễ dàng chứng minh tam giác ABC cân tại A, gọi \(H\left( {0; - \frac{{{m^2} - 6m + 1}}{4}} \right)\) là trung điểm của BC, khi đó:
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.\left| { - \frac{{{m^2} - 6m + 1}}{4} - m} \right|.2\sqrt {\frac{{m - 1}}{2}} = 1\)
\( \Leftrightarrow \left| {\frac{{{m^2} - 2m + 1}}{4}} \right|\sqrt {\frac{{m - 1}}{2}} = 1\)
\( \Rightarrow {\left( {m - 1} \right)^2}.\sqrt {m - 1} = 4\sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {m - 1} } \right)^5} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^5}\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {m - 1} = \sqrt 2 \Leftrightarrow m - 1 = 2 \Leftrightarrow m = 3\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, \(BC = a\sqrt 2 \), SC là đường cao, \(SC = a\). Mặt phẳng qua C, vuông góc với SB cắt SA, SB lần lượt tại E, F. Tính thể tích khối chóp S.CEF.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Các mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy, còn cạnh bên SC tạo với đáy mặt phẳng đáy một góc \({30^0}\). Thể tích của khối chóp đã cho là
Trong không gian, tập hợp các điểm M luôn cách đường thẳng d một khoảng không đổi R \[\left( {R > 0} \right)\] là
Giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \sqrt {5 - 4x} \) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) là:
Viết biểu thức sau dưới dạng lũy thừa \(P = \sqrt x \sqrt[3]{{{x^2}}}\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) là:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Tìm tất cả giá trị thực của m để phương trình \(y = f\left( x \right) = m\) có bốn nghiệm phân biệt.
Thể tích khối chóp tam giác có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy, biết \(AB = a,\,\,AC = 2a,\,\,SB = 3a\)
Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc, \[AB = 2a,{\rm{ }}AC = 2a,{\rm{ }}AD = a.\] Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là R.
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = - {x^4} + 4{x^2} + 2\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) là
Thể tích của khối trụ (T) biết bán kính đáy r = 3, chiều cao h = 4 là
Cho hàm số \(y = \frac{{\ln \,x}}{x}\), kết luận nào sau đây đúng?
Tập nghiệm của phương trình \(\log x + \log \left( {x + 9} \right) = 1\) là