Cho hàm số bậc bốn f (x) có bảng biến thiên như sau:
![Cho hàm số bậc bốn f (x) có bảng biến thiên như sau: Số điểm cực trị của hàm số g(x) = x2[f (x − 1)]4 là: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/03/blobid10-1678117102.png)
Số điểm cực trị của hàm số g(x) = x2[f (x − 1)]4 là:
Giải bởi Vietjack
Ta có:
g(x) = x2[f (x − 1)]4
=> g '(x) = 2x[f (x − 1)]4 + 4x2f '(x − 1)[f (x − 1)]3
<=> g '(x) = 2x[f (x − 1)]3[f (x − 1) + 2xf '(x − 1)] = 0
Đặt t = x − 1 => x = t + 1
Xét phương trình f (x − 1) = 0 <=> f (t) = 0
Dựa vào BBT ta thấy phương trình f (t) = 0 có 4 nghiệm phân biệt khác 1 nên phương trình f (x − 1) = 0 có 4 nghiệm phân biệt khác 0.
Xét phương trình f (x − 1) + 2xf '(x − 1) = 0
=> f (t) + 2(t + 1)f '(t) = 0 (*)
Dựa vào BBT ta thấy:
f (x) là hàm bậc bốn trùng phương, đặt f (x) = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)
Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm (−1; 3), (0; −1), (1; 3) và có ba điểm cực trị x = 0, x = ±1 nên ta có:
=> f (x) = −4x4 + 8x2 − 1 => f '(x) = −16x3 + 16x.
Thay vào (*) ta có:
−4t4 + 8t2 − 1 + 2(t + 1)( −16t3 + 16t) = 0
<=> −4t4 + 8t2 − 1 − 32t4 + 32t2 − 32t3 + 32t = 0
<=> −36t4 − 32t3 + 40t2 + 32t − 1 = 0
Xét hàm số h (t) = −36t4 − 32t3 + 40t2 + 32t − 1 ta có:
h '(t) = − 144t3 − 96t2 + 80t + 32
Ta có:
Ta có BBT:
![Cho hàm số bậc bốn f (x) có bảng biến thiên như sau: Số điểm cực trị của hàm số g(x) = x2[f (x − 1)]4 là: (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/03/blobid9-1678117023.png)
Dựa vào BBT ta thấy phương trình h (t) = 0 có 4 nghiệm phân biệt khác 1
=> Phương trình f (x − 1) − 2xf '(x − 1) = 0 có 4 nghiệm phân biệt khác 0.
Do đó, phương trình g '(x) = 0 có tất cả 9 nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số g(x) = x2[f (x − 1)]4 có tất cả 9 điểm cực trị.
c) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2.
Cho đường tròn (O) bán kính R, đường kính AB, vẽ dây cung CD vuông góc với AB (CD không đi qua (O)), trên tia đối của BA lấy S, SC cắt đường tròn tại M thuộc cung nhỏ BC
a) Chứng minh ∆SMA ᔕ ∆SBC.
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I (I nằm giữa A và O). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC (E khác B và C), AE cắt CD tại F. Chứng minh:
a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
ho đường tròn (O; R) và một điểm A sao cho OA = 2R, vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O; R), B và C là các tiếp điểm. Vẽ đường kính BOD.
a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi E là giao điểm của AD và đường tròn (O) (E khác D), H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng: AE.AD = AH.AO.
Cho tam giác ABC đều tâm O. M là điểm tùy ý trong tam giác. MD, ME, MF tương ứng vuông góc với BC, CA, AB. Chọn khẳng định đúng?
Cho tam giác ABC có , AB = AC, điểm D thuộc cạnh AB. Đường thẳng qua B và vuông góc với CD cắt đường thẳng CA ở K. Chứng minh rằng AK = AD
b) CM tứ giác AHBD là hình chữ nhật. Từ đó tính diện tích tứ giác AHBD nếu AH = 6 cm, AB = 10 cm
c) Tìm m để (d) cắt đồ thị hàm số y = x − 7 (d2) tại 1 điểm nằm bên trái trục tung.
Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau và có BC = 3, góc = 30°. Tính diện tích tam giác ABC.
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và K là điểm chính giữa cung AB. Trên cung KB lấy một điểm M (khác K, B). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP // KM. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP và BM; E là giao điểm của PB và AM.
a) Chứng minh rằng tứ giác PQME nội tiếp đường tròn.
