Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài tại A (R > R'). Vẽ dây AM của đường tròn (O) và dây AN của đường tròn (O') sao cho AM ⊥ AN. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O) và (O') với B thuộc (O) và C thuộc (O').
a) Chứng minh ba đường thẳng MN, BC và OO' đồng quy.
b) Xác định vị trí của M và N để tứ giác MNOO' có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Ta có:
• \({\widehat O_1} = 180^\circ - 2{\widehat A_1}\)
• \({\widehat {O'}_1} = 2{\widehat A_2} = 2\left( {90^\circ - {{\widehat A}_1}} \right) = 180^\circ - 2{\widehat A_1}\)
Do đó: \({\widehat O_1} = {\widehat {O'}_1} \Rightarrow OM\;{\rm{//}}\;O'N\).
Gọi P là giao điểm của MN và OO'.
Ta có: \(\frac{{PO'}}{{PO}} = \frac{{O'N}}{{OM}} = \frac{{R'}}{R}\).
Gọi P' là giao điểm của BC và OO'.
Vì OB // O'C nên \(\frac{{P'O'}}{{P'O}} = \frac{{O'C}}{{OB}} = \frac{{R'}}{R}\).
Suy ra P' ≡ P.
b) Từ O' kẻ O'H ^ MO. Khi đó:
\({S_{OMNO'}} = \frac{{\left( {O'N + OM} \right).O'H}}{2} = \frac{{\left( {R' + R} \right).O'H}}{2}\)
\( \le \frac{{\left( {R' + R} \right).O'O}}{2} = \frac{{{{\left( {R' + R} \right)}^2}}}{2}\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi O'H = O'O hay H ≡ O
Û O'O ^ MO hoặc O'O ^ NO'.
Vậy tứ giác MNO'O có diện tích lớn nhất là \(\frac{{{{\left( {R' + R} \right)}^2}}}{2}\) Û O'O ^ MO.
Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Từ H kẻ HF vuông góc với AB (F ∈ AB) và kẻ HE ⊥ vói AC (E ∈ AC).
a) Chứng minh: \[\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\].
b) Hai đường thẳng EF và BC cắt nhau tại M. Chứng minh ME . MF = MB . MC.
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn sao cho AC > BC. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với dây AC ở H. Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn cắt tia OH ở D. BD cắt đường tròn tâm O ở E.
a) Chứng minh HA = HC.
b) Biết \[\widehat {DCO} = 90^\circ \]. Chứng minh OH . DO = DE . DB.
c) Trên tia đối của EA lấy F sao cho E là trung điểm AF. Từ F vẽ đường thẳng AD vuông góc ở K; KF cắt BC ở M. Chứng minh MK = MF.
Cho ba điểm A(– 4; 0), B(0; 3) C(2; 1).
a) Xác định tọa độ \[\overrightarrow u = 2\overrightarrow {AC} \;--\overrightarrow {AB} \].
b) Tìm điểm M sao cho MA + 2MB + 3MC = 0.
Cho tứ giác ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo (không vuông góc), I và K lần lượt là trung điểm của BC và CD. Gọi M và N theo thứ tự là điểm đối xứng của điểm O qua tâm I và K.
a) Chứng minh rằng tứ giác BMND là hình bình hành.
b) Với điều kiện nào của hai đường chéo AC và BD thì tứ giác BMND là hình chữ nhật?
c) Chứng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng.
Cho tam giác ABC cân tại A, đường phân giác trong của góc B cắt AC tại D và cho biết AB = 15cm, BC = 10cm. Khi đó AD = ?
Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và \[\widehat A = 60^\circ \]. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC và AD.
a) Tứ giác ECDF là hình gì? Vì sao?
b) Tam giác DEC là tam giác gì? Vì sao?
c) Tính số đo\[\widehat {AED}\]?
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = \[ - \frac{1}{2}\]x2 và đường thẳng (d) y = mx + m – 3(với m là tham số).
a) Khi m = –1, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).
b) Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P)cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 14.
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng: OA ⊥ BC.
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.
c) Tính độ dài các cạnh của ∆ ABC; Biết OB = 2 cm, OA = 4 cm.
Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, gọi E là điểm đối xứng với H qua AC.
a) Chứng minh rằng D đối xứng với E qua A.
b) Tam giác DHE là tam giác gì? Vì sao?
c) Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao?
d) Chứng minh rằng BC = BD + CE.
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng OA ⊥ MN.
b) Vẽ đường kính NC. Chứng minh rằng MC // AO.
c) Tính độ dài các cạnh của ∆AMN biết OM = 3 cm, OA = 5 cm.
