Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q, E, F là trung điểm của AB, BC, CD, DA, AC, BD. Chứng minh:
a) MN = PQ và NP = MQ.
b) MF = PE và ME = PF.
c) Tứ giác MEPF và tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) * Xét ΔBAC có:
• AM = MB (vì M là trung điểm AB);
• BN = NC (vì N là trung điểm CB).
Do đó MN // AC; \[MN = \;\frac{1}{2}AC\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (1)
* Xét ΔACD có:
• AQ = QD (vì Q là trung điểm AD);
• CP = PD (vì P là trung điểm CD).
Do đó PQ // AC; \[QP = \;\frac{1}{2}AC\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ // AC; \[MN = PQ = \;\frac{1}{2}AC\].
* Xét ΔBCD có:
• CN = NB (vì N là trung điểm CB);
• CP = PD (vì P là trung điểm CD).
Do đó NP // BD; \[NP = \;\frac{1}{2}BD\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (3)
* Xét ΔABD có:
• AM = MP (vì M là trung điểm AB)
• AQ = QD (vì Q là trung điểm AD)
Do đó MQ // BD; \[MQ = \frac{1}{2}BD\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra NP // MQ // BD; \[NP = MQ = \;\frac{1}{2}BD\].
b) * Xét ΔABD có:
• MA = MB (gt)
• BF = FD (gt)
Do đó MF // AD; \[MF = \;\frac{1}{2}AD\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (5)
* Xét ΔACD có:
• AE = EC (gt)
• CP = PD (gt)
Do đó PE // AD; EP = \[\frac{1}{2}\]AD (định lí đường trung bình của một tam giác) (6)
Từ (5) và (6) suy ra MF // PE // AD; \[MF = PE = \;\frac{1}{2}AD\].
* Xét Δ ACB có:
• AE = EC (gt)
• AM = MB (gt)
Do đó ME // BC; \[ME = \;\frac{1}{2}BC\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (7)
* Xét ΔBDC có:
• BF = FD (gt)
• DP = PC (gt)
Do đó PF // BC; \[PF = \;\frac{1}{2}BC\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (8)
Từ (7) và (8) suy ra ME // PF // BC; \[ME = PF = \;\frac{1}{2}BC\].
c) Xét tứ giác MEPF có:
MN = PQ (chứng minh trên); NP = MQ (chứng minh trên)
Do đó, tứ giác MEPF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
Xét tứ giác MNPQ có:
MF = PE (chứng minh trên); ME = PF (chứng minh trên).
Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ, vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC (I thuộc AB, K thuộc AC).
a) Chứng minh AIMK, ABOC là các tứ giác nội tiếp;
b) Vẽ MP vuông góc với BC (P thuộc BC). Chứng minh \(\widehat {MPK} = \widehat {MBC}\);
c) Chứng minh MI.MK = MP2;
d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn (O) tại D. Kẻ đường kính AE của đường tròn (O). Chứng minh:
a) BC // DE.
b) Tứ giác BCED là hình thang cân.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và I là trung điểm của AB. Lấy điểm M trong đoạn AD sao cho AD = 3AM.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Đường thẳng qua M song song với AB cắt CI tại N.
Chứng minh rằng NG // (SCD).
c) Chứng minh rằng MG // (SCD).
Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.
a) So sánh độ dài AM, DE.
b) Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để DE có độ dài nhỏ nhất.
Cho hàm số bậc nhất y = (2m − 1)x + m − 1 (d)
a) Tìm m để hàm số đồng biến.
b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt đường thẳng y = 2x + 1 tại một điểm trên trục tung.
c) Cho m = 2 vẽ đường thẳng (d) và khoảng cách từ gốc tọa dộ đến đường thẳng (d).
Cho tam giác ABC có \(\widehat C = 90^\circ \). Kẻ CH vuông góc với AB. Trên AB và AC lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho BM = BC; CN = CH. Chứng minh rằng:
a) MN ^ AC.
b) AC + BC < AB + CH.
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng OA ^ BC.
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD // AO.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết OB = 2 cm, OA = 4 cm.
